Considerando que [tex]m[/tex] é o coeficiente angular das retas em questão, temos que:
[tex]m=\frac{y-2}{x+2}[/tex]
[tex]y-2=m(x+2)[/tex]
[tex]y-2=mx+2m[/tex]
[tex]mx-y+2m+2=0[/tex]
pela equação da circunferência, ela possui centro (0, 0) e raio 1. Como as retas são tangentes, a distância delas ao centro da circunferência deve ser exatamente igual ao seu raio.
Sabe-se que a distância de uma reta de equação [tex]ax+by+c=0[/tex] até um ponto [tex](x_p,y_p)[/tex] é dada por:
[tex]d=\frac{|ax_p+by_p+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/tex]
Substituindo os valores:
[tex]d=\frac{|m\cdot0-1\cdot0+2m+2|}{\sqrt{m^2+(-1)^2}}=1[/tex]
[tex]|2m+2|=\sqrt{1+m^2}[/tex]
[tex](|2m+2|)^2=(\sqrt{1+m^2})^2[/tex]
[tex]4m^2+8m+4=1+m^2[/tex]
[tex]3m^2+8m+3=0[/tex]
[tex]m=\frac{-8\pm\sqrt{8^2-4\cdot3\cdot3}}{2\cdot3}[/tex]
[tex]m=\frac{-8\pm\sqrt{64-36}}{6}[/tex]
[tex]m=\frac{-8\pm\sqrt{28}}{6}[/tex]
[tex]m=\frac{-8\pm2\sqrt{7}}{6}=\frac{-4\pm\sqrt{7}}{3}[/tex]
Basta agora substituir [tex]m[/tex] na equação da reta:
[tex]y-2=m(x+2)[/tex]
[tex]y=2+m(x+2)[/tex]
[tex]y=2+\frac{-4\pm\sqrt{7}}{3}\cdot(x+2)[/tex]
Segue anexado uma representação gráfica do problema.
