Vamos começar identificando os pontos que são dados através do gráfico:
--> Ponto (4,0) onde a parábola intercepta o eixo das abscissas (eixo x). Vale notar que este ponto é uma das duas raízes da função que dá origem ao gráfico.
--> Ponto (0,-2) onde a parábola intercepta o eixo das ordenadas (eixo y).
--> Ponto (-1,3), um ponto qualquer por onde a parábola passa.
Sabemos que o ponto onde a parábola intercepta o eixo "y" é dado pelo coeficiente "c" na forma (0,c), logo, através do ponto (0,-2), podemos afirmar que:
[tex]\boxed{c~=\,-2}[/tex]
Vamos agora substituir o ponto (4,0) no modelo y=ax²+bx+c junto ao valor já determinado do coeficiente "c".
[tex]y~=~ax^2+bx+c~~~\underline{para~(x,y)=(4,0)}~~e~~\underline{c=-2}~:\\\\\\0~=~a\cdot(4)^2+b\cdot (4)+(-2)\\\\\\0~=~16a+4b-2\\\\\\16a+4b~=~2~~~~Simplificando~a~equacao~toda~por~2\\\\\\\boxed{8a+2b~=~1}~~\Rightarrow~\underline{Equacao~1}[/tex]
Podemos fazer agora o mesmo para o ponto (-1,3).
[tex]y~=~ax^2+bx+c~~~\underline{para~(x,y)=(-1,3)}~~e~~\underline{c=-2}~:\\\\\\3~=~a\cdot(-1)^2+b\cdot (-1)+(-2)\\\\\\3~=~a-b-2\\\\\\a-b~=~3+2\\\\\\\boxed{a-b~=~5}~~\Rightarrow~\underline{Equacao~2}[/tex]
Temos duas equações e duas incógnitas ("a" e "b"), podemos formar um sistema de equações:
[tex]\left\{\begin{array}{rcrcc}8a&+&2b&=&1\\a&-&b&=&5\end{array}\right.[/tex]
Podemos resolver este sistema por qualquer método conhecido, vou utilizar o método da adição.
Somando a Equação 1 com o dobro da Equação 2:
[tex](8a+2b)~+~2\cdot (a-b)~=~1~+~2\cdot 5\\\\\\8a+2b~+~2a-2b~=~1+10\\\\\\10a~=~11\\\\\\\boxed{a~=~\dfrac{11}{10}}~~ou~~\boxed{a~=~1,1}[/tex]
Substituindo o valor achado de "a" em uma das duas equações (qualquer uma):
[tex]a-b~=~5\\\\\\\dfrac{11}{10}-b~=~5\\\\\\-b~=~5-\dfrac{11}{10}\\\\\\-b~=~\dfrac{10\cdot 5~-~1\cdot 11}{10}\\\\\\-b~=~\dfrac{50~-~11}{10}\\\\\\-b~=~\dfrac{39}{10}\\\\\\\boxed{b~=\,-\dfrac{39}{10}}~~ ou~~ \boxed{b~=\,-3,9}[/tex]
Assim, com todos coeficientes calculados, podemos por fim montar a função f(x) que deu origem ao gráfico mostrado:
[tex]\boxed{f(x)~=~1,1x^2-3,9x-2}~~\Rightarrow~Resposta\\\\\\\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio[/tex]
