2.1.
Basta calcularmos [tex]f(0)[/tex]:
[tex]f(0)=\frac{120}{1+e^{-0,04\cdot0}}[/tex]
[tex]f(0)=\frac{120}{1+e^{0}}[/tex]
[tex]f(0)=\frac{120}{1+1}[/tex]
[tex]f(0)=\frac{120}{2}=60\;\text{milhares de habitantes}[/tex]
2.2.
Como a escala da função está em milhares, Igualamos [tex]f(t)[/tex] a 90:
[tex]f(t)=90[/tex]
[tex]\frac{120}{1+e^{-0,04t}}=90[/tex]
[tex]1+e^{-0,04t}=\frac{120}{90}[/tex]
[tex]1+e^{-0,04t}=\frac{4}{3}[/tex]
[tex]e^{-0,04t}=\frac{4}{3}-1[/tex]
[tex]e^{-0,04t}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]-0,04t=\ln(1/3)[/tex]
[tex]-0,04t=\ln(3^{-1})[/tex]
[tex]-0,04t=-\ln3[/tex]
[tex]t=\frac{\ln3}{0,04}\cong 27,4653\;\text{anos}[/tex]
Daí tiramos que esse número de habitantes é atingindo após pouco mais de 27 anos, ou seja, em 1920+27 = 1947.
2.3.
Quando [tex]t[/tex] tende ao infinito, temos que:
[tex]\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=\lim_{t\rightarrow \infty}\frac{120}{1+e^{-0,04t}}[/tex]
[tex]\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=\frac{120}{\lim_{t\rightarrow \infty}1+e^{-0,04t}}[/tex]
[tex]\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=\frac{120}{1+\lim_{t\rightarrow \infty}e^{-0,04t}}[/tex]
Para valores cada vez maiores de [tex]t[/tex], o valor de [tex]e^{-0,04t}[/tex] tende a 0, logo:
[tex]\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=\frac{120}{1+0}[/tex]
[tex]\lim_{t\rightarrow \infty}f(t)=120[/tex]
Conclui-se com isso que o número de habitantes tende a se estabilizar em 120 mil habitantes.
