ShinyComet
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Resolva a seguinte equação diferencial.

[tex]\displaystyle\cos^2(xy')=\cos^2(y)[/tex]

Sagot :

MSGamgee85

Resposta:

y₁(x) = Cx e y₂(x) = C/x

Explicação passo-a-passo:

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1. Queremos determinar as soluções para a equação diferencial:

[tex]\mathsf{cos^2(xy')=cos^2(y)}[/tex]

2. Aplique a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:

[tex]\mathsf{cos(xy')=cos(y)}[/tex]

3. Como os valores de cosseno são iguais, logo seus argumentos (ângulos) também devem ser; temos:

[tex]\mathsf{xy'=y\qquad(1)}[/tex]    

4. Mas o cosseno é uma função par, isto é, cos(-x) = cos(x), então temos também que:

[tex]\mathsf{-xy'=y\qquad(2)}[/tex]

Vamos resolver a equação para os dois casos.

  • Caso 1:

1. Lembre-se que y' = dy/dx, portanto devemos resolver a seguinte equação separável:

[tex]\mathsf{x\dfrac{dy}{dx}=y}[/tex]

Portanto:

[tex]\mathsf{x\,dy=y\,dx}\\\\\mathsf{\dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x}}[/tex]

2. Integre ambos os lados:

[tex]\displaystyle \mathsf{\int \dfrac{dy}{y}=\int \dfrac{dx}{x}}\\\\\mathsf{\ell n |y| + c_1=\ell n |x| +c_2}\\\\\mathsf{\ell n |y|=\ell n |x|+C_1}\quad \mathsf{;onde\quad C_1=c_2-c_1}}[/tex]

3. Aplique o expoente natural dos dois lados da igualdade:

[tex]\mathsf{e^{\ell n |y|}=e^{\ell n |x|+C_1}}\\\\\mathsf{y=e^{\ell n |x|}\cdot e^{C_1}}\\\\\mathsf{y=x\cdot e^{C_1}}\\\\\therefore\boxed{\mathsf{y_1=Cx}}[/tex]

Conclusão: a primeira solução para a equação diferencial é y₁(x) = Cx.

  • Caso 2:

1. Fazendo a substituição y' = dy/dx, devemos resolver a seguinte equação separável:

[tex]\mathsf{-x\dfrac{dy}{dx}=y}[/tex]

Portanto:

[tex]\mathsf{-x\,dy=y\,dx}\\\\\mathsf{\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dx}{x}}[/tex]

2. Integre ambos os lados:

[tex]\displaystyle \mathsf{\int \dfrac{dy}{y}=-\int \dfrac{dx}{x}}\\\\\mathsf{\ell n |y| + c_1=-\ell n |x| +c_2}\\\\\mathsf{\ell n |y|=\ell n |1/x|+C_1}\quad \mathsf{;onde\quad C_1=c_2-c_1}}[/tex]

3. Aplique o expoente natural dos dois lados da igualdade:

[tex]\mathsf{e^{\ell n |y|}=e^{\ell n |1/x|+C_1}}\\\\\mathsf{y=e^{\ell n |1/x|}\cdot e^{C_1}}\\\\\mathsf{y=\dfrac{1}{x}\cdot e^{C_1}}\\\\\therefore\boxed{\mathsf{y_2=\dfrac{C}{x}}}[/tex]

Conclusão: a segunda solução para a equação diferencial é y₂(x) = C/x.

Continue aprendendo com o link abaixo:

EDO separável

https://brainly.com.br/tarefa/33080626

Bons estudos!

Equipe Brainly

View image MSGamgee85
SubGui

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta equação diferencial, devemos nos relembrar algumas propriedades estudadas sobre funções trigonométricas.

Seja a equação diferencial:

[tex]\cos^2(xy')=\cos^2(y)[/tex]

Aplique a fórmula de transformação em arco duplo: [tex]\boxed{\cos^2(\theta)=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}}[/tex]

[tex]\dfrac{1+\cos(2xy')}{2}=\dfrac{1+\cos(2y)}{2}[/tex]

Multiplique ambos os lados da equação por [tex]2[/tex] e subtraia [tex]1[/tex].

[tex]\cos(2xy')=\cos(2y)[/tex]

Subtraia [tex]\cos(2y)[/tex] em ambos os lados da equação

[tex]\cos(2xy')-\cos(2y)=0[/tex]

Aplique a fórmula de transformação de soma em produto: [tex]\boxed{\cos(p)-\cos(q)=-2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)}[/tex].

[tex]-2\sin\left(\dfrac{2xy'+2y}{2}\right)\sin\left(\dfrac{2xy'-2y}{2}\right)=0[/tex]

Simplifique as frações

[tex]-2\sin(xy'+y)\sin(xy'-y)=0[/tex]

Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero.

Assim, teremos duas soluções para esta equação diferencial:

[tex]\sin(xy'+y)=0[/tex] ou [tex]\sin(xy'-y)=0[/tex]

Para que o seno de um argumento seja zero, utilizamos o menor inteiro cujo esta condição é satisfeita: zero.

[tex]xy'+y=0~\bold{(I)}[/tex] ou [tex]xy'-y=0~\bold{(II)}[/tex]

Resolvendo [tex]\bold{(I)}[/tex]:

Subtraia [tex]y[/tex] em ambos os lados da equação

[tex]xy'=-y[/tex]

Esta é uma equação dita separável. Multiplique ambos os lados da equação por [tex]\dfrac{1}{xy}[/tex].

[tex]\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{1}{x}[/tex]

Sabendo que [tex]y=y(x)[/tex], fazemos [tex]y'=\dfrac{dy}{dx}[/tex] e multiplicamos ambos os lados da equação pelo diferencial [tex]dx[/tex].

[tex]\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dx}{x}[/tex]

Calcule a integral de ambos os lados da equação

[tex]\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=\int-\dfrac{dx}{x}}[/tex]

Aplique as propriedades: [tex]\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}[/tex] e [tex]\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C}[/tex]

[tex]\ln|y|=-(\ln|x|+C_1)\\\\\\ \ln|y|=-\ln|x|+C_2,~\boxed{C_2=-C_1}[/tex]

Considere [tex]C_2=\ln(C_3)[/tex] e aplique as propriedades de logaritmos: [tex]a\cdot\log(b)=\log(b^a)[/tex] e [tex]\log(a)+\log(b)=\log(a\cdot b)[/tex], satisfeitas as condições de existência.

[tex]\ln|y|=\ln|x^{-1}|+\ln(C_3)\\\\\\ \ln|y|=\ln\left|\dfrac{C_3}{x}\right|[/tex]

Igualando os logaritmandos, temos a primeira solução

[tex]y=\dfrac{C_3}{x},~C_3\in\mathbb{R}[/tex]

Resolvendo [tex]\bold{(II)}[/tex]:

Some [tex]y[/tex] em ambos os lados da equação

[tex]xy'=y[/tex]

Multiplique ambos os lados da equação por [tex]\dfrac{1}{xy}[/tex]

[tex]\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{x}[/tex]

Multiplique ambos os lados pelo diferencial [tex]dx[/tex] e calcule a integral

[tex]\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{dx}{x}}\\\\\\ \ln|y|=\ln|x|+C_5[/tex]

Considere [tex]C_5=\ln(C_6)[/tex] e aplique a propriedade de logaritmos

[tex]\ln|y|=\ln|C_6x|[/tex]

Igualando os logaritmandos, temos a segunda solução:

[tex]y=C_6x,~C_6\in\mathbb{R}[/tex]

Estas são as soluções desta equação diferencial.

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