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Sagot :
Resposta:
y₁(x) = Cx e y₂(x) = C/x
Explicação passo-a-passo:
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1. Queremos determinar as soluções para a equação diferencial:
[tex]\mathsf{cos^2(xy')=cos^2(y)}[/tex]
2. Aplique a raiz quadrada dos dois lados da igualdade:
[tex]\mathsf{cos(xy')=cos(y)}[/tex]
3. Como os valores de cosseno são iguais, logo seus argumentos (ângulos) também devem ser; temos:
[tex]\mathsf{xy'=y\qquad(1)}[/tex]
4. Mas o cosseno é uma função par, isto é, cos(-x) = cos(x), então temos também que:
[tex]\mathsf{-xy'=y\qquad(2)}[/tex]
Vamos resolver a equação para os dois casos.
- Caso 1:
1. Lembre-se que y' = dy/dx, portanto devemos resolver a seguinte equação separável:
[tex]\mathsf{x\dfrac{dy}{dx}=y}[/tex]
Portanto:
[tex]\mathsf{x\,dy=y\,dx}\\\\\mathsf{\dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x}}[/tex]
2. Integre ambos os lados:
[tex]\displaystyle \mathsf{\int \dfrac{dy}{y}=\int \dfrac{dx}{x}}\\\\\mathsf{\ell n |y| + c_1=\ell n |x| +c_2}\\\\\mathsf{\ell n |y|=\ell n |x|+C_1}\quad \mathsf{;onde\quad C_1=c_2-c_1}}[/tex]
3. Aplique o expoente natural dos dois lados da igualdade:
[tex]\mathsf{e^{\ell n |y|}=e^{\ell n |x|+C_1}}\\\\\mathsf{y=e^{\ell n |x|}\cdot e^{C_1}}\\\\\mathsf{y=x\cdot e^{C_1}}\\\\\therefore\boxed{\mathsf{y_1=Cx}}[/tex]
Conclusão: a primeira solução para a equação diferencial é y₁(x) = Cx.
- Caso 2:
1. Fazendo a substituição y' = dy/dx, devemos resolver a seguinte equação separável:
[tex]\mathsf{-x\dfrac{dy}{dx}=y}[/tex]
Portanto:
[tex]\mathsf{-x\,dy=y\,dx}\\\\\mathsf{\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dx}{x}}[/tex]
2. Integre ambos os lados:
[tex]\displaystyle \mathsf{\int \dfrac{dy}{y}=-\int \dfrac{dx}{x}}\\\\\mathsf{\ell n |y| + c_1=-\ell n |x| +c_2}\\\\\mathsf{\ell n |y|=\ell n |1/x|+C_1}\quad \mathsf{;onde\quad C_1=c_2-c_1}}[/tex]
3. Aplique o expoente natural dos dois lados da igualdade:
[tex]\mathsf{e^{\ell n |y|}=e^{\ell n |1/x|+C_1}}\\\\\mathsf{y=e^{\ell n |1/x|}\cdot e^{C_1}}\\\\\mathsf{y=\dfrac{1}{x}\cdot e^{C_1}}\\\\\therefore\boxed{\mathsf{y_2=\dfrac{C}{x}}}[/tex]
Conclusão: a segunda solução para a equação diferencial é y₂(x) = C/x.
Continue aprendendo com o link abaixo:
EDO separável
https://brainly.com.br/tarefa/33080626
Bons estudos!
Equipe Brainly
Olá, boa noite.
Para resolvermos esta equação diferencial, devemos nos relembrar algumas propriedades estudadas sobre funções trigonométricas.
Seja a equação diferencial:
[tex]\cos^2(xy')=\cos^2(y)[/tex]
Aplique a fórmula de transformação em arco duplo: [tex]\boxed{\cos^2(\theta)=\dfrac{1+\cos(2\theta)}{2}}[/tex]
[tex]\dfrac{1+\cos(2xy')}{2}=\dfrac{1+\cos(2y)}{2}[/tex]
Multiplique ambos os lados da equação por [tex]2[/tex] e subtraia [tex]1[/tex].
[tex]\cos(2xy')=\cos(2y)[/tex]
Subtraia [tex]\cos(2y)[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]\cos(2xy')-\cos(2y)=0[/tex]
Aplique a fórmula de transformação de soma em produto: [tex]\boxed{\cos(p)-\cos(q)=-2\sin\left(\dfrac{p+q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p-q}{2}\right)}[/tex].
[tex]-2\sin\left(\dfrac{2xy'+2y}{2}\right)\sin\left(\dfrac{2xy'-2y}{2}\right)=0[/tex]
Simplifique as frações
[tex]-2\sin(xy'+y)\sin(xy'-y)=0[/tex]
Para que um produto seja igual a zero, ao menos um de seus fatores deve ser igual a zero.
Assim, teremos duas soluções para esta equação diferencial:
[tex]\sin(xy'+y)=0[/tex] ou [tex]\sin(xy'-y)=0[/tex]
Para que o seno de um argumento seja zero, utilizamos o menor inteiro cujo esta condição é satisfeita: zero.
[tex]xy'+y=0~\bold{(I)}[/tex] ou [tex]xy'-y=0~\bold{(II)}[/tex]
Resolvendo [tex]\bold{(I)}[/tex]:
Subtraia [tex]y[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]xy'=-y[/tex]
Esta é uma equação dita separável. Multiplique ambos os lados da equação por [tex]\dfrac{1}{xy}[/tex].
[tex]\dfrac{y'}{y}=-\dfrac{1}{x}[/tex]
Sabendo que [tex]y=y(x)[/tex], fazemos [tex]y'=\dfrac{dy}{dx}[/tex] e multiplicamos ambos os lados da equação pelo diferencial [tex]dx[/tex].
[tex]\dfrac{dy}{y}=-\dfrac{dx}{x}[/tex]
Calcule a integral de ambos os lados da equação
[tex]\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=\int-\dfrac{dx}{x}}[/tex]
Aplique as propriedades: [tex]\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}[/tex] e [tex]\displaystyle{\int \dfrac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C}[/tex]
[tex]\ln|y|=-(\ln|x|+C_1)\\\\\\ \ln|y|=-\ln|x|+C_2,~\boxed{C_2=-C_1}[/tex]
Considere [tex]C_2=\ln(C_3)[/tex] e aplique as propriedades de logaritmos: [tex]a\cdot\log(b)=\log(b^a)[/tex] e [tex]\log(a)+\log(b)=\log(a\cdot b)[/tex], satisfeitas as condições de existência.
[tex]\ln|y|=\ln|x^{-1}|+\ln(C_3)\\\\\\ \ln|y|=\ln\left|\dfrac{C_3}{x}\right|[/tex]
Igualando os logaritmandos, temos a primeira solução
[tex]y=\dfrac{C_3}{x},~C_3\in\mathbb{R}[/tex]
Resolvendo [tex]\bold{(II)}[/tex]:
Some [tex]y[/tex] em ambos os lados da equação
[tex]xy'=y[/tex]
Multiplique ambos os lados da equação por [tex]\dfrac{1}{xy}[/tex]
[tex]\dfrac{y'}{y}=\dfrac{1}{x}[/tex]
Multiplique ambos os lados pelo diferencial [tex]dx[/tex] e calcule a integral
[tex]\displaystyle{\int\dfrac{dy}{y}=\int\dfrac{dx}{x}}\\\\\\ \ln|y|=\ln|x|+C_5[/tex]
Considere [tex]C_5=\ln(C_6)[/tex] e aplique a propriedade de logaritmos
[tex]\ln|y|=\ln|C_6x|[/tex]
Igualando os logaritmandos, temos a segunda solução:
[tex]y=C_6x,~C_6\in\mathbb{R}[/tex]
Estas são as soluções desta equação diferencial.
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