Answered

Bem-vindo ao Sistersinspirit.ca, onde você pode obter respostas confiáveis e rápidas com a ajuda de nossos especialistas. Descubra respostas abrangentes para suas perguntas de profissionais experientes em nossa plataforma amigável. Conecte-se com uma comunidade de especialistas prontos para fornecer soluções precisas para suas perguntas de maneira rápida e eficiente em nossa amigável plataforma de perguntas e respostas.

Determine as raízes cúbicas do número complexo z = -8.

Sagot :

CyberKirito

Caso esteja pelo app, e tenha problemas para visualizar esta resposta, experimente abrir pelo navegador https://brainly.com.br/tarefa/37987352

                                                       

Raízes enésimas de um número complexo

[tex]\large\underbrace{\sf W_k=\sqrt[\sf n]{\sf \rho}\bigg[ cos\bigg(\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\bigg)+i~sen\bigg(\dfrac{\theta+2k\pi}{n}\bigg)\bigg]}_{\sf 2^{\underline a}~ f\acute ormula~de~Moivre}[/tex]

[tex]\sf z=-8\implies z=-8+0i\\\sf \rho=\sqrt{(-8)^2+0^2}=\sqrt{64}=8\\\sf cos(\theta)=\dfrac{-8}{8}\\\sf cos(\theta)=-1\implies \theta=arc~cos(-1)=\pi\\\sf z=\rho[cos(\theta)+i sen(\theta)]\\\sf z=8[cos(\pi)+i~sen(\pi)] \\\sf w_k=\sqrt[\sf 3]{\sf8}\bigg[cos\bigg(\dfrac{\pi+2k\pi}{3}\bigg)+i~sen\bigg(\dfrac{\pi+2k\pi}{3}\bigg)\bigg]\\\sf w_k=2\cdot\bigg[cos\bigg(\dfrac{\pi+2k\pi}{3}\bigg)+i~sen\bigg(\dfrac{\pi+2k\pi}{3}\bigg)\bigg][/tex]

[tex]\underline{\tt se~k=1:}\\\sf w_1= 2\cdot\bigg[cos\bigg(\dfrac{\pi+2\cdot 1\cdot\pi}{3}\bigg)+i~sen\bigg(\dfrac{\pi+2\cdot1\cdot \pi}{3}\bigg)\bigg]\\\sf w_1=2\cdot\bigg[cos\bigg(\dfrac{\diagup\!\!\!3\pi}{\diagup\!\!\!3}\bigg)+i~sen\bigg(\dfrac{\diagup\!\!\!3\pi}{\diagup\!\!\!3}\bigg)\bigg]\\\sf w_1=2[cos(\pi)+i~sen(\pi)]\\\sf w_1=2\cdot[-1+0]=-2[/tex]

[tex]\underline{\tt se~k=2:}\\\sf w_2=2\bigg[cos\bigg(\dfrac{\pi+2\cdot2\cdot\pi}{3}\bigg)+i~sen\bigg(\dfrac{\pi+2\cdot2\cdot\pi}{3}\bigg)\bigg]\\\sf w_2=2cos\bigg[cos\bigg(\dfrac{5\pi}{3}\bigg)+i~sen\bigg(\dfrac{5\pi}{3}\bigg)\bigg]\\\sf w_2=2\bigg[\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i\bigg]\\\sf w_2=1-\sqrt{3}~i[/tex]

[tex]\boxed{\begin{array}{c}\sf portanto~as~ra\acute izes~c\acute ubicas~de~z=-8~s\tilde ao\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf-2}}}}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf 1-\sqrt{3}~i}}}}\end{array}}[/tex]

Agradecemos sua visita. Esperamos que as respostas que encontrou tenham sido benéficas. Não hesite em voltar para mais informações. Sua visita é muito importante para nós. Não hesite em voltar para mais respostas confiáveis a qualquer pergunta que possa ter. Visite o Sistersinspirit.ca para obter novas e confiáveis respostas dos nossos especialistas.