Tem-se a equação do 2º grau: x² + 2x + 3 – k = 0. Vamos determinar o que cada alternativa pede:
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Para que a equação tenha 2 como uma das raízes, certamente x = 2. Assim:
[tex]\begin{array}{l}\sf x^2+2x+3-k=0\\\\\sf (2)^2+2(2)+3-k=0\\\\\sf 4+4+3-k=0\\\\\sf 11-k=0\\\\\sf -11-k=0-11\\\\\sf (-1)\cdot(-k)=-11\cdot(-1)\\\\\!\boxed{\sf k=11}\end{array}[/tex]
Dessa forma, a equação terá 2 como uma das raízes quando k for igual a 11
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Para a equação ter raízes diferentes, veja o que diz a regra:
[tex]\small\begin{array}{l}\\~~~\bullet~ \: \sf se~\:\Delta > 0~\to~x'~e~\:x''\!\in\mathbb{R},~\:com\:~x'\,\neq\, x''\\\\\end{array}[/tex]
Assim, se delta for maior que zero, as raízes pertencem aos reais e serão diferentes
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Dessa forma calcule ∆ na equação:
[tex]\begin{array}{l}\sf x^2+2x+3-k=0\\\\\boldsymbol{\sf \Rightarrow~a=1,~~b=2,~~c=3-k}\\\\\sf \Delta=b^2-4ac\\\\\sf \Delta=(2)^2-4\cdot(1)\cdot(3-k)\\\\\sf \Delta=4-4\cdot(3-k)\\\\\sf \Delta=4-12+4k\\\\\!\boxed{\sf \Delta=-8+4k}\\\\\end{array}[/tex]
Como vimos anteriormente, delta deve ser maior que zero, assim:
[tex]\begin{array}{l}\sf \Delta > 0\\\\\sf -8+4k > 0\\\\\sf 8-8+4k > 0+8\\\\\sf 4k > 8\\\\\sf \dfrac{\diagdown\!\!\!\!4k}{\diagdown\!\!\!\!4} > \dfrac{8}{4}\\\\\!\boxed{\sf k > 2}\end{array}[/tex]
Dessa forma, a equação terá raízes diferentes quando k for maior que 2
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