Um doente toma duas pílulas de certo remédio no primeiro dia, quatro no segundo dia, seis no terceiro dia e assim sucessivamente até termiar o conteúdo do vidro. Em quantos dias terá tomado todo o conteúdo, que é de 72 pílulas?
Podemos resolver o problema aplicando uma Progressão Aritmética, pois a cada dia o doente toma duas pílulas a mais, veja:
- Consideremos o primeiro dia como [tex]a_1[/tex];
- o segundo como [tex]a_2[/tex];
- e assim por diante até que a soma das pílulas tomatas totalizem 72, ou seja, [tex]S_n = 72[/tex]
Obtemos a razão calculando a diferença entre um termo e seu antecessor, ou seja,
[tex]r = a_2 - a_1 \\ r = 4 - 2 \\ r = 2[/tex]
Com isso,
[tex]\\ \begin{cases} a_1 = 2 \\ a_2 = 4 \\ a_3 = 6 \\ r = 2 \\ S_n = 72 \\ a_n = \\ n = \end{cases} \\\\ a_n = a_1 + (n - 1)r \\ a_n = 2 + (n - 1)2 \\ a_n = 2 + 2n - 2 \\ a_n = 2n[/tex]
Por fim,
[tex]\\ S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \\\\ 72 = \frac{(2 + 2n)n}{2} \\\\ 72 = \frac{2(1 + n)n}{2} \\ 72 = (1 + n)n \\ n^2 + n - 72 = 0 \\ \Delta = 1 + 288 \Rightarrow \Delta = 289 \\\\ n = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta }}{2a} \Rightarrow n = \frac{- 1 \pm \sqrt{289}}{2} \\\\ \begin{cases} n' = \frac{- 1 + 17}{2} \Rightarrow n' = \frac{16}{2} \Rightarrow \boxed{\boxed{n = 8}}\\\\ n'' = \frac{- 1 - 17}{2} \Rightarrow n'' = \frac{- 18}{2} \Rightarrow n = - 9 \end{cases}[/tex]
O valor negativo é irrelevante, pois o número de pílulas tomadas não pode ser negativa. Logo, 8 dias é a resposta procurada!!
