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...Dois números entre 60 e 70, pelos quais o nª [tex]2^4^8-1[/tex] é divisivel. Fiz uma resolução doida e encontrei 62 e 64, mas eu quero uma resolução simples, eu sei que tem! ;D

Sagot :

Celio

Olá, MegaMente.

 

Vamos fatorar o número  [tex]2^{48}-1[/tex]  por sucessivas diferenças de quadrados:

 

[tex]2^{48}-1=(2^{24}+1)(2^{24}-1)=(2^{24}+1)(2^{12}+1)(2^{12}-1)=\\ =(2^{24}+1)(2^{12}+1)(2^{6}+1)(2^{6}-1)=\\ =(2^{24}+1)(2^{12}+1)(2^{6}+1)(2^{3}+1)(2^{3}-1)[/tex]

 

Vamos analisar agora os valores encontrados:

 

[tex]=(2^{24}+1)(2^{12}+1)(64+1)(8+1)(8-1)=\\ =(2^{24}+1)(2^{12}+1)\cdot 65 \cdot 9 \cdot 7=\\ =(2^{24}+1)(2^{12}+1)\cdot 65 \cdot 63[/tex]

 

Fica claro, portanto, que o número  [tex]2^{48}-1[/tex]  é múltiplo dos números 63 e 65.

 

Conclusão: os dois números entre 60 e 70 pelos quais  [tex]2^{48}-1[/tex]  é divisível são 63 e 65.

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