Jennifer,
[tex]\begin{vmatrix} x & 0 & -\frac12\\ 1 & x & x\\ 10 & 4 & x\\ \end{vmatrix}=0\\\\\\ \text{Pela Regra de Sarrus}:\\\\ \begin{vmatrix} x & 0 & -\frac12\\ 1 & x & x\\ 10 & 4 & x\\ \end{vmatrix}\begin{vmatrix} x & 0 \\ 1 & x \\ 10 & 4 \\ \end{vmatrix}=x^3+0-2+5x-4x^2-0=0 \Rightarrow\\\\\\ x^3-4x^2+5x-2=0[/tex]
Aplicando-se, agora o Teorema das Raízes Racionais, temos que:
Se [tex]\frac{p}{q}[/tex] é raiz da equação polinomial [tex]a_nx^n +a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0,[/tex] então:
[tex]p[/tex] é divisor de [tex]a_0[/tex] e [tex]q[/tex] é divisor de [tex]a_n[/tex]
No caso, para que [tex]x^3-4x^2+5x-2=0[/tex] possua raízes racionais do tipo [tex]\frac{p}{q},[/tex] devemos ter:
(1) [tex]p[/tex] divisor de 2, ou seja: [tex]p=\pm2,\pm1[/tex]
(2) [tex]q[/tex] divisor de 1, ou seja: [tex]q=\pm1[/tex]
Testando-se os valores possíveis de [tex]\frac{p}{q}[/tex], verificamos que [tex]x=1[/tex] e [tex]x=2[/tex]
são soluções desta equação.
Vamos agora procurar pela terceira raiz:
[tex](x-1)(x-2)(x-a)=0 \Rightarrow (x^2-2x-x+2)(x-a)=0 \Rightarrow \\\\ (x^2-3x+2)(x-a)=0 \Rightarrow x^3 - ax^2 - 3x^2 +3ax + 2x - 2a = 0\\\\ \Rightarrow x^3 - (a+3) x^2 + (3a + 2) x - 2a = 0 \Rightarrow \begin{cases}-(a+3)=-4\\3a+2=5\\-2a=-2 \end{cases} \Rightarrow \\\\\boxed{a=1}[/tex]
Encontramos, novamente, o 1 como raiz. Portanto, x=1 é uma raiz de multiplicidade 2.
