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Dado um conjunto de sete inteiros positivos distintos, não necessariamente consecutivos, prove que existe um par cuja soma ou cuja diferença é um múltiplo de [tex]10[/tex].

Sagot :

milena15
 É esta aqui: Um inteiro positivo de dois algarismos é escrito na forma [tex]10\text{A}+\text{B}[/tex], onde [tex]\text{B}[/tex] é o algarismo das unidades. Para o algarismo das unidades, há [tex]10[/tex] possibilidades, ou seja, os números do intervalo [tex][0,9][/tex]. Conforme o Princípio das Casas de pombo, temos: Os inteiros positivos dados são as casas e as possibilidades para o algarismo das unidades são os pombos. Vemos que, há [tex]10[/tex] pombos e apenas [tex]7[/tex] casas. O Princípio das Casas de pombo nos garante que pelo menos uma casa terá que conter dois pombos. Ou melhor, pelo menos dois inteiros positivos, dentre os sete dados têm o mesmo algarismo das unidades. Sejam [tex]\text{k}[/tex] e [tex]\text{k}_1[/tex] dois inteiros cujos os algarismos das unidades são iguais. Um número é divisível por [tex]10[/tex] se e somente se, o algarismo das unidades é [tex]0[/tex]. Temos que, [tex]\text{k}-\text{k}_1=10\text{A}+\text{B}[/tex], onde [tex]\text{B}=0[/tex] Desta maneira, podemos afirmar que, [tex]\text{k}-\text{k}_1[/tex] é divisível por [tex]10[/tex]. "se o algarismo das unidades de um inteiro é 0, então o inteiro é divisível por [tex]10[/tex]." Consideremos o conjunto de sete inteiros distintos [tex]\text{M}=\{\text{a}_1, \text{a}_2, \text{a}_3, \text{a}_4, \text{a}_5, \text{a}_6, \text{a}_7\}[/tex]. Sejam [tex]\text{d}_1[/tex] e [tex]\text{d}_2[/tex] os algarismos das unidades dos números selecionados. Vejamos as possibilidades, de modo que, o número obtido seja divisível por [tex]10[/tex]. [tex](\text{d}_1, \text{d}_2)=(0,0),(1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1)[/tex] Num total de [tex]10[/tex] possibilidades. Conforme o Princípio das Casas de pombo, temos: Os inteiros postivos são as casas e as possibilidades, de modo que, o número obtido seja divisível por [tex]10[/tex] são os pombos. Há [tex]10[/tex] pombos para organizarmos em apenas [tex]7[/tex] casas. O PCP nos garante que pelo menos uma casa terá que conter dois pombos. Ou seja, teremos dois números cuja soma é divisível por [tex]10[/tex].
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