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Sabendo-se que o resultado de 12x11x10x...x3x2x1+14 é divisivel por 13, qual o resto da divisão do número 13x12x11x...x3x2x1 por 169

Sagot :

 MegaMente,

questão interessante!

 

 De acordo com o enunciado, o resto dessa divisão é zero: [tex]\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1 + 14}{13}[/tex]

 

 Segue,

 

[tex]\frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}{169} = \\\\ \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}{13} [/tex]

 

 Note que, se tivéssemos + 14 no numerador aquela divisão seria exata; portanto, para que o resto seja nulo falta 14.

 Devemos descobrir o menor número que somado aos 14 seja divísivel por 13.

 

 Algebricamente, temos:

 

[tex]14 + x = 26 \\ x = 26 - 14 \\ \boxed{x = 12}[/tex]

 

 

 

 

 

Celio

Olá, Megamente.

 

Chamemos de  [tex]x[/tex]   a expressão [tex]12 \times 11 \times 10 \times ... \times 3 \times 2 \times 1[/tex]

 

Temos, portanto, que:

 

[tex]\frac{x+14}{13} = k, k \in \mathbb{N} \Rightarrow \\\\ x+14=13k \Rightarrow x=13k-14 \Rightarrow \\\\ x=13k-(26-12)=13k-26+12 \Rightarrow \\\\ x=13(k-2)+12[/tex]

 

Multiplicando por 13 em ambos os lados da igualdade:

 

[tex] 13x=169(k-2)+13.12=169(k-2)+156[/tex]

 

Como  [tex]13x[/tex]  é a expressão  [tex]13 \times 12 \times 11 \times ... \times 3 \times 2 \times 1[/tex]

e  [tex]k>>2,[/tex]  temos que o resto é 156.

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