Sabendo-se que o resultado de 12x11x10x...x3x2x1+14 é divisivel por 13, qual o resto da divisão do número 13x12x11x...x3x2x1 por 169
MegaMente,
questão interessante!
De acordo com o enunciado, o resto dessa divisão é zero: [tex]\frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1 + 14}{13}[/tex]
Segue,
[tex]\frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}{169} = \\\\ \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot ... \cdot 2 \cdot 1}{13} [/tex]
Note que, se tivéssemos + 14 no numerador aquela divisão seria exata; portanto, para que o resto seja nulo falta 14.
Devemos descobrir o menor número que somado aos 14 seja divísivel por 13.
Algebricamente, temos:
[tex]14 + x = 26 \\ x = 26 - 14 \\ \boxed{x = 12}[/tex]
Olá, Megamente.
Chamemos de [tex]x[/tex] a expressão [tex]12 \times 11 \times 10 \times ... \times 3 \times 2 \times 1[/tex]
Temos, portanto, que:
[tex]\frac{x+14}{13} = k, k \in \mathbb{N} \Rightarrow \\\\ x+14=13k \Rightarrow x=13k-14 \Rightarrow \\\\ x=13k-(26-12)=13k-26+12 \Rightarrow \\\\ x=13(k-2)+12[/tex]
Multiplicando por 13 em ambos os lados da igualdade:
[tex] 13x=169(k-2)+13.12=169(k-2)+156[/tex]
Como [tex]13x[/tex] é a expressão [tex]13 \times 12 \times 11 \times ... \times 3 \times 2 \times 1[/tex]
e [tex]k>>2,[/tex] temos que o resto é 156.
