seja um prisma regular de base triangular no qual a altura é igual a aresta da base. sendo S a área da base , determine em função de S: a -a aresta da base A b- a área lateral SL c- a área total ST d- o volume V
Olá, Aizidorio.
Como o prisma é regular, isto significa que sua base é um polígono regular.
Como sua base é um triângulo e este é regular, então a base deste prisma é um triângulo equilátero.
a) No triângulo da base, aplicamos o Teorema de Pitágoras para encontrar a altura [tex]h[/tex] e, depois, com o valor de [tex]h[/tex] conhecido, calculamos a área da base [tex]S[/tex] em função da aresta [tex]A.[/tex] A partir daí, escrevemos a área [tex]S[/tex] em função da aresta [tex]A[/tex]:
[tex]A^2=h^2+(\frac{A}2)^2 \Rightarrow h^2=A^2-\frac{A^2}4 \Rightarrow h=\sqrt{\frac{3A^2}4} \Rightarrow h=\frac{\sqrt3}2A\\\\ S=\frac{b \cdot h}2 \Rightarrow S=\frac12 \cdot A \cdot \frac{\sqrt3}2A=\frac{\sqrt3}4A^2 \Rightarrow A^2=\frac{4S}{\sqrt3} \Rightarrow A=\frac{2\sqrt{S}}{\sqrt[4]3} \Rightarrow \\\\ \boxed{A=\frac{2\sqrt[4]3}{3}\sqrt{S}}[/tex]
b) A área lateral é formada pelas três faces do prisma, excetuadas as faces das duas bases. Como a altura do prisma é igual à aresta do triângulo da base, podemos afirmar que cada face lateral é um quadrado de lado [tex]A.[/tex] Veja a figura em anexo.
Assim:
[tex]S_L=3A^2=3 \cdot \frac{4\sqrt3S}9 \Rightarrow \boxed{S_L=\frac{4\sqrt3}3S}[/tex]
c) A área total do prisma é a área lateral mais as áreas das duas bases:
[tex]S_T=S_L+2S=\frac{4\sqrt3}3S+2S \Rightarrow \boxed{S_T=(\frac{4\sqrt3}3+2)S}[/tex]
d) O volume do prisma é igual à area da base multiplicada por sua altura. Como a altura do prisma é igual à aresta da base [tex]A.[/tex], temos:
[tex]V=S\cdot h_{prisma}=S \cdot A=S\cdot \frac23\sqrt[4]3\sqrt S \Rightarrow \boxed{V=\frac23\sqrt[4]3\sqrt{S^3}}[/tex]
