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Logaritmos:

a) log4 X + log4 (x-3)=1

b)log(x-5) + log(2x-20)= 1+log(3x-35)

c) loh16 {4.log2 [1+ 4.log2 x]}= -1/2

 

Essa última preciso de uma explicação maior, pq eu não entendi naaaada disso.

Sagot :

mribeirodantas

Olá CAmanda,

 

Antes de tudo, é necessário relembrar algumsa propriedades de logaritmo.

I) [tex]Log_a c = b \rightarrow a^b = c[/tex]

II) [tex]Log_a b = Log_a c \rightarrow b = c[/tex]

III) [tex]Log_a b = \frac{log_c a}{log_c b}[/tex]

IV) [tex]Log_a b + Log_a c \rightarrow Log_a bc[/tex]

 

a) [tex]Log_4 x + Log_4 (x - 3) = 1[/tex]

De acordo com a terceira propriedade, mudança de base, iremos levar para base 10 que facilita a resolução de alguns problemas.

 

[tex]\frac{Log x + Log (x - 3)}{Log 4} = 1[/tex]

Pela quarta propriedade:

[tex]\frac{Log x(x - 3)}{Log 4} = 1[/tex]

Vamos passar o [tex]Log 4[/tex] multiplicando para o segundo lado da equação:

[tex]Log x(x - 3) = Log 4[/tex]

Pela segunda propriedade:

[tex]x(x - 3) = 4[/tex]

[tex]x^2 - 3x - 4 = 0[/tex]

Resolvendo essa equação do segundo grau iremos encontrar duas raízes.

[tex]\boxed{x' = -1}[/tex]

[tex]\boxed{x" = 4}[/tex]

 

Como nos reais ([tex]\mathb{R}[/tex]) não existe logaritmo de número negativo, concluímos que a solução para esse problema é x" = 4. Você também poderia verificar substituindo nas equações e veria que o resultado seria diferente.

 

b) [tex]Log (x - 5) + log(2x - 20) = 1 + Log(3x - 35)[/tex]

Sabe-se que quando o logaritmando e a base são iguais, o resultado é 1. Fazendo o caminho inverso, traremos a equivalência de 1 com base 10 (já que todos os outros estão com base dez, o que fica subentendido quando as bases não são citadas).

 

[tex]\therefore 1 = Log_{10} 10[/tex]

 

Pela propriedade número 4:

[tex]Log (x - 5)(2x - 20) = Log 10(3x - 35)[/tex]

Pela propriedade número 2:

[tex](x - 5)(2x - 20) = 10(3x - 35)[/tex]

[tex]2x^2 - 20x - 10x + 100 = 30x - 350[/tex]

[tex]2x^2 - 30x - 30x + 100 + 350 = 0[/tex]

[tex]2x^2 - 60x + 450 = 0[/tex]
Simplificando tudo por 2:

[tex]x^2 - 30x + 225 = 0[/tex]

 

Resolvendo essa equação do segundo grau, iremos obter a solução:

[tex]\boxed{x = 15}[/tex] 

 

c) [tex]Log_16 {4log_2 [1 + 4log2 x]} = \frac{-1}{2}[/tex]


CAmanda, você poderia por favor explicar melhor essa alternativa c? Não está claro quem é base, quem é logaritmando, etc. Assim que você explicar (pode ser por mensagem), eu edito minha resposta e completo com a resolução para esta c.

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