Conforme o enunciado, podemos afirmar que:
[tex]\text{a}+\text{b}+\text{c}=36 \ \text{cm}~(\text{i})[/tex]
Tem-se que, o volume de um paralelepído é dado pelo produto de suas dimensões.
Desta maneira, temos:
[tex]\text{V}=\text{a}\cdot\text{b}\cdot\text{c}[/tex]
As dimensões do paralelepípedo [tex](\text{a}, \text{b}, \text{c})[/tex]são proporcionais aos números [tex]3[/tex], [tex]4[/tex] e [tex]5[/tex].
Deste modo, podemos afirmar que:
[tex]\dfrac{\text{a}}{3}=\dfrac{\text{b}}{4}=\dfrac{\text{c}}{5}[/tex]
Podemos substituir cada uma das variáveis na equação [tex](\text{i})[/tex], como segue que:
[tex]\dfrac{\text{a}}{3}=\dfrac{\text{b}}{4}=\dfrac{\text{c}}{5}[/tex]
Donde, obtemos [tex]\text{a}=\dfrac{3\text{b}}{4}~\wedge~\text{c}=\dfrac{5\text{b}}{4}[/tex].
Substituindo em [tex](\text{i})[/tex], tém-se:
[tex]\dfrac{3\text{b}}{4}+\text{b}+\dfrac{5\text{b}}{4}=36 \ \text{cm}[/tex]
[tex]3\text{b}+\text{b}+5\text{b}+4\text{b}=144 \ \text{cm}[/tex]
[tex]12\text{b}=144 \ \text{cm}[/tex]
[tex]\text{b}=12 \ \text{cm}[/tex]
Desta maneira, podemos afirmar que:
[tex]\text{a}=\dfrac{3\text{b}}{4}=\dfrac{3\cdot12}{4}=9 \ \text{cm}[/tex]
[tex]\text{c}=\dfrac{5\text{b}}{4}=\dfrac{5\cdot12}{4}=15 \ \text{cm}[/tex]
Logo, concluímos que as dimensões do paralelepípedo em análise medem [tex]9 \ \text{cm}, 12 \ \text{cm}[/tex] e [tex]15 \ \text{cm}[/tex].
Como supracitado, o volume do paralelepípedo é dado por:
[tex]\text{V}=\text{a}\cdot\text{b}\cdot\text{c}[/tex]
Desta maneira, tém-se:
[tex]\text{V}=9\cdot12\cdot15=1~620 \ \text{cm}^3[/tex]
Logo, chegamos à conclusão de que o volume do paralelepípedo em questão é igual a [tex]1~620 \ \text{cm}^3[/tex].
