[tex]1)[/tex] Consideremos o sistema de equações:
[tex]\begin{cases} \text{x}+\text{y}=\text{c} \\ \text{x}-\text{y}=\text{d} \end{cases}[/tex]
Somando as duas equações, tém-se:
[tex](\text{x}+\text{x})+(\text{y}-\text{y})=(\text{c}+\text{d})[/tex]
[tex]2\text{x}=\text{c}+\text{d}[/tex]
[tex]\text{x}=\dfrac{\text{c}+\text{d}}{2}[/tex]
Observemos que:
Se [tex]\text{c}, \text{d}\in\mathbb{R}[/tex] o sistema admite solução real.
Donde, concluímos que, as operações com linhas não afeta o conjunto das soluções de um sistema linear.
[tex]2)[/tex]Se as equações lineares têm o mesmo conjunto de soluções, então [tex]\text{x}_1=\text{x}_2[/tex].
Façamos [tex]\text{x}_1=\text{x}_2=1[/tex].
Desta maneira, temos:
[tex]\begin{cases} 1 + \text{k} = \text{c} \\ 1 + \text{l} = \text{d} \end{cases}[/tex]
Multiplicando a [tex]1^{\circ}[/tex] por [tex](-1)[/tex], obtemos:
[tex]\begin{cases} -1 - \text{k} = -\text{c} \\ 1 + \text{l} = \text{d} \end{cases}[/tex]
Somando as equações, temos:
[tex](1-1)+(\text{l}-\text{k})=(\text{d}-\text{c})[/tex]
[tex]\text{l}-\text{k}=\text{d}-\text{c}[/tex]
[tex]\text{l}-\text{d}=\text{k}-\text{c}[/tex]
Como as duas equações têm o mesmo conjunto solução, podemos afirmar que:
[tex]\text{k}=\text{l}~\wedge~\text{c}=\text{d}[/tex]
