Seja [tex]\text{a}[/tex] a medida das arestas da pirâmide quadrangular regular em análise.
Conforme o enunciado, temos:
[tex]\text{a}\cdot\text{a}=16 \ \text{cm}^2[/tex]
Donde, obtemos [tex]\text{a}=4 \ \text{cm}[/tex].
Logo, concluímos que a medida das arestas da pirâmide dada é igual a [tex]4 \text{cm}[/tex].
Segundo o enuciado, podemos afirmar que todas as arestas são iguais.
Desse modo, as faces triangulares da pirâmide são triângulos equiláteros, cujos lados medem [tex]4 \ \text{cm}[/tex].
Calculemos a altura de uma das faces triangulares, como segue:
A altura de um triângulo equilátero de lado [tex]\text{l}[/tex] é dada por [tex]\text{h}=\dfrac{\text{l}\sqrt{3}}{2}[/tex].
Contudo, a altura de uma das faces triangulares é [tex]\text{h}_1=\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3} \ \text{cm}[/tex].
Tracemos o segmento [tex]\text{b}[/tex] com extremidades no vértice da pirâmide e no ponto médio da aresta da base.
É importante ressaltar que, [tex]\text{b}[/tex] é a altura de uma das faces laterais.
Analogamente, tracemos o segmento [tex]\text{h}[/tex] com extremidades no vértice da pirâmide e no centro da base.
Por inspeção, concluímos que [tex]\text{h}[/tex] é a altura da pirâmide quadrangular.
Por fim, tracemos o segmento [tex]\text{c}[/tex] com extremidades em [tex]\text{b}[/tex] e em [tex]\text{h}[/tex].
A medida de [tex]\text{c}[/tex] é dada por [tex]\dfrac{\text{a}}{2}[/tex], sendo [tex]\text{a}[/tex] a medida da aresta.
Assim, temos [tex]\text{c}=\dfrac{4}{2}=2 \ \text{cm}[/tex].
Desta maneira, obtemos um triângulo retângulo, com catetos [tex]\text{h}[/tex], [tex]\text{c}[/tex] e hipotenusa [tex]\text{b}[/tex].
Conforme o Teorema de Pitágoras, podemos afirmar que [tex]\text{b}^2=\text{h}^2+\text{c}^2[/tex], donde [tex]\text{h}=\sqrt{\text{b}^2-\text{c}^2}[/tex].
Como [tex]\text{b}=2\sqrt{3}~\wedge~\text{c}=2[/tex], segue que:
[tex]\text{h}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2-2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2} \ \text{cm}[/tex]
Logo, chegamos à conclusão de que a a altura da pirâmide dada é [tex]2\sqrt{2} \ \text{cm}[/tex].
