Gab,
Para que um conjunto [tex]V[/tex] seja um espaço vetorial, ele deve satisfazer as seguintes propriedades:
[tex]\text{1. Associatividade da soma: }(u+v)+w=u+(v+w), \\ \forall u,v,w \in V\\\\ \text{2. Exist\^encia de elemento neutro: }\exists u \in V\ |\ v+u=v, \forall v \in V\\\\ \text{3. Exist\^encia de elemento sim\'etrico: }\forall v \in V, \exists u\ |\ v+u=0\\\\ \text{4. Comutatividade: }u+v=v+u, \forall u,v \in V [/tex]
[tex]\text{5. Associatividade da multiplica\c{c}\~ao por escalar: }\forall \alpha,\beta \in \mathbb{R},\\\alpha \cdot (\beta \cdot v) = (\alpha \cdot \beta) \cdot v, \forall v \in V\\\\ \text{6. Exist\^encia de elemento identidade: }\exists u \in V\ |\ v \cdot u=v, \forall v \in V[/tex]
[tex]\text{7. Distributividade para a adi\c{c}\~ao de elementos: }\\ \forall \alpha \in \mathbb{R}, \forall u, v \in V, \alpha (u + v) = \alpha u + \alpha v \\\\ \text{8. Distributividade para a multiplica\c{c}\~ao por escalar: }\\ \forall \alpha,\beta \in \mathbb{R}, \forall v \in V, (\alpha + \beta) v = \alpha v + \beta v[/tex]
De forma trivial, podemos verificar que [tex]V=\mathbb{R}[/tex] satisfaz todas as condições
acima, uma vez que os números reais satisfazem todas aquelas propriedades.
Em especial, sabemos que:
- o elemento neutro é o zero (propriedade 2);
- o elemento simétrico de [tex]a \in V[/tex] é [tex]-a[/tex] (propriedade 3);
- o elemento identidade é o 1 (propriedade 6).
Note que [tex] V=\mathbb{R}[/tex] é um espaço vetorial de dimensão 1.
Gab, como o enunciado não pede e isto seria uma decorrência natural, fica como
exercício para você mostrar que qualquer número real é uma base para [tex]V=\mathbb{R}.[/tex]
