Olá Beckergabr,
O enunciado nos informa de uma função [tex]Q(t) = 10000*2^{-0,5t}[/tex] onde [tex]Q(t)[/tex] nos informa a quantidade de árvores t anos após o início da contagem. O termo 10000 representa justamente essa primeira contagem. Substituindo um valor qualquer em t, você irá encontrar a quantidade de árvores para aquele t, mas para resolver esse problema faremos justamente o contrário. Antes de tudo, qual a quarta parte da quantidade inicial?
[tex]\frac{1}{4}*10000 = 2500[/tex]
Se 2500 é a quantidade para o t que queremos descobrir, substituiremos na função.
[tex]Q(t) = 10000*2^{-0,5t}[/tex]
[tex]2500 = 10000*2^{-0,5t}[/tex]
[tex]\frac{2500}{10000} = 2^{-0,5t}[/tex]
[tex]\frac{1}{4} = 2^{-0,5t)[/tex]
Sabemos que [tex]2^2 = 4[/tex] e que [tex]1/2^2 = 2^{-2}[/tex]. Desse modo:
[tex]2^{-2} = 2^{-0,5t}[/tex]
Bases iguais, expoentes também iguais.
[tex]-2 = -0,5t[/tex]
[tex]-t = \frac{-2}{0,5}[/tex]
[tex]-t = -4 *(-1)[/tex]
[tex]t = 4[/tex]
Como t está em anos, pelo próprio enunciado, concluímos que:
[tex]\boxed{t = 4 anos}[/tex]
