Olá Murilo,
[tex]S = log_{\frac{1}{2}}} 8 - log_{\frac{4}{3}} \frac{27}{64} + log_2 1024[/tex]
Para resolver essa equação devemos lembrar de uma propriedade importante que invertemos a ordem de uma razão quando multiplicamos seu expoente por -1.
[tex]5 = 5^1[/tex]. Logo, se multiplicarmos seu expoente 1 por (-1) iremos inverter a ordem da razão gerando [tex]\frac{1}{5}[/tex]. Desse modo [tex]5^{-1} = 1/5[/tex].
[tex]log_{\frac{1}{2}} 8 = a[/tex]
[tex](\frac{1}{2})^a = \frac{8}{1}[/tex]
[tex](\frac{1}{2})^a = (\frac{1}{8})^{-1}[/tex]
Como [tex]8 = 2^3[/tex]:
[tex](\frac{1}{2})^a = (\frac{1}{2})^{-3}[/tex]
[tex]a = -3[/tex]
[tex]log_{\frac{4}{3}} \frac{27}{64} = b[/tex]
[tex]\frac{4}{3}^b = \frac{27}{64}[/tex]
[tex]\frac{4}{3}^b = (\frac{64}{27})^{-1}[/tex]
Como [tex]4^3 = 64[/tex] e [tex]3^3 = 27[/tex]:
[tex]\frac{4}{3}^b = (\frac{4}{3})^{-3}[/tex]
[tex]b = -3[/tex]
[tex]log_2 1024 = c[/tex]
[tex]2^c = 1024[/tex]
[tex]2^c = 2^{10}[/tex]
[tex]c = 10[/tex]
[tex]S = a - b + c[/tex]
[tex]S = -3 -(-3) + 10 = -6 + 10[/tex]
[tex]S = -3 + 3 + 10 = 10[/tex]
[tex]\boxed{S = 10}[/tex]
