Vamos lá então...
[tex](100^2+200^2+300^2+400^2+500^2)-(99^2+199^2+299^2+399^2+499^2)[/tex]
Vamos distribuir o sinal de menos no segundo parênteses:
[tex]100^2+200^2+300^2+400^2+500^2-99^2-199^2-299^2-399^2-499^2[/tex]
Agora, estratégicamente vou trocar de lugar os termos e fazer várias diferenças de quadrados( dominar fatoração e produtos notáveis é fundamental):
[tex]100^2-99^2+200^2-199^2+300^2-299^+400^2-399^2+500^2-499^2[/tex]
Vou fazer as diferenças de quadrados separadamente : [tex]A^2-B^2=(A+B)(A-B)[/tex]
[tex]100^2-99^2=(100+99)(100-99)=199.1=199[/tex]
[tex]200^2-199^2=(200+199)(200-199)=399.1=399[/tex]
[tex]300^2-299^2=(300+299)(300-299)=599.1=599[/tex]
[tex]400^2-399^2=(400+399)(400-399)=799.1=799[/tex]
[tex]500^2-499^2=(500+499)(500-499)=999.1=999[/tex]
Agora basta somar os elementos, que agora formam uma PA de razão 200 e faremos a soma do 5 primeiros termos.
[tex]S_{5}=\frac{(A_{1}+A_{5})5}{2}\\ \\ S_{5}=\frac{(199+999)5}{2}\\ \\ S_{5}=\frac{(1198)5}{2}\\ \\ S_{5}=599.5\\ \\ \large{\boxed{S_{5}=2995}}\\ \\[/tex]
Veja se ficou alguma dúvida!!
