Para resolver este exercício, você deve saber duas fórmulas basicamente, que dizem a respeito da Prograssão Aritmética.
[tex]Formula \ 1 => \boxed{a_{n} = a_{1} + (N-1) \cdot r} \\\\ Formula \ 2 => \boxed{S_{n} = \frac{(a_{1}+a_{n}) \cdot n}{2}}[/tex]
A "Fórmula 1" diz respeito a qualquer termo. Por ela você pode descobrir várias coisas: número de termos interpolados, primeito termo, um termo qualquer, razão, etc
A "Fórmula 2" diz respeito a soma dos termos, ou seja, tudo que envolver soma numa P.A., a gente pode usar esta fórmula.
Como seu exercício se trata de soma, vamos utilizar a fórmula 2.
[tex]S_{n} = \frac{(a_{1}+a_{n}) \cdot n}{2}[/tex]
[tex]S_{10} = \frac{(38+a_{10}) \cdot 10}{2}[/tex]
Perceba que ainda não temos o termo a10, mas pela fórmula 1, podemos calcula-lo.
[tex]a_{n} = a_{1} + (N-1) \cdot r[/tex]
[tex]a_{10} = 38 + (10-1) \cdot r[/tex]
Não temos razão, porém, dá pra calcular. Lmbre que a razão é constante, e dá pra achar sempre somando ela ao termo anterior, para achar o próximo termo. Como queremos acha-la, basta subtrair:
42-38 = 4. Portanto, razão vale 4.
[tex]a_{10} = 38 + (10-1) \cdot 4[/tex]
[tex]a_{10} = 38 + 9 \cdot 4[/tex]
[tex]a_{10} = 38 + 36[/tex]
[tex]a_{10} = 74[/tex]
Voltando na fórmula da soma:
[tex]S_{10} = \frac{(38+a_{10}) \cdot 10}{2}[/tex]
[tex]S_{10} = \frac{(38+74) \cdot 10}{2}[/tex]
[tex]S_{10} = \frac{112 \cdot 10}{2}[/tex]
[tex]S_{10} = \frac{1120}{2}[/tex]
[tex]\boxed{S_{10} = 560} \\\\ \boxed{A \ soma \ dos \ dez \ primeiros \ termos \ e \ 560}[/tex]
