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Sagot :
Olá, Dieomenon.
Como sua pergunta é genérica, vou tomar, como exemplo mais abrangente possível, uma inequação onde o produto é de dois polinômios de segundo grau.
[tex](9-x^2)(x^2-3x+2)>0[/tex]
As raízes de [tex](9-x^2)[/tex] são -3 e 3 (verifique).
As raízes de [tex](x^2-3x+2)[/tex] são 1 e 2 (verifique).
Como o primeiro polinômio é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, pois o termo que acompanha [tex]x^2[/tex] é negativo, temos que, entre as raízes -3 e 3, [tex]9-x^2 > 0.[/tex] Para x<-3 e x>3, temos que [tex]9-x^2 < 0.[/tex]
Como o segundo polinômio é uma parábola com a concavidade voltada para cima, pois o termo que acompanha [tex]x^2[/tex] é positivo, temos que, entre as raízes 1 e 2, [tex]x^2-3x+2<0.[/tex] Para x<1 e x>2, temos que [tex]x^2-3x+2 > 0[/tex]
Façamos, então, o estudo dos sinais do produto [tex](9-x^2)(x^2-3x+2):[/tex]
[tex]....(-)......-3......(+).......|.....(+).........|.....(+).......3....(-)...\\\\ ....(+)..........\underbrace{|.......(+).......1}_{\boxed{\text{produto} > 0}}....(-).......\underbrace{2.....(+).......|}_{\boxed{\text{produto} > 0}}...(+)...\\\\[/tex]
Como desejamos que o produto na inequação seja maior do que zero, os intervalos onde isto é possível, como se pode observar no estudo de sinal acima é:
[tex]\boxed{-3 < x < 1 \text{ ou } 2 < x < 3}[/tex]
Resolver uma inequação produto consiste em encontrar os valores de x que satisfazem a condição estabelecida pela inequação. Para isso utilizamos o estudo do sinal de uma função. Observe a resolução da seguinte equação produto: (2x + 6)*( – 3x + 12) > 0.
Vamos estabelecer as seguintes funções: y1 = 2x + 6 e y2 = – 3x + 12.
Determinando a raiz da função (y = 0) e a posição da reta (a > 0 crescente e a < 0 decrescente).
y1 = 2x + 6
2x + 6 = 0
2x = – 6
x = –3
y2 = – 3x + 12
–3x + 12 = 0
–3x = –12
x = 4
Verificando o sinal da inequação produto (2x + 6)*(– 3x + 12) > 0. Observe que a inequação produto exige a seguinte condição: os possíveis valores devem ser maiores que zero, isto é, positivo.
Através do esquema que demonstra os sinais da inequação produto y1*y2, podemos chegar à seguinte conclusão quanto aos valores de x:
x Є R / –3 < x < 4
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