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Ao escalar uma trilha de montanha, um alpinista percorre 256 m na primeira hora, 128 na segunda hora, 64 na terceira hora e assim sucessivamente. Determine o tempo (em hora) necessário para completar um percurso de:
a) 480m
b) 600m

Sagot :

Celio
Olá, Camilla.

Trata-se de uma PG cujo primeiro termo é 256 e a razão é [tex]\frac12.[/tex]
O total caminhado até o instante [tex]t[/tex] é dado pela soma desta PG até o instante [tex]t[/tex].
A fórmula da soma da PG até o instante [tex]t[/tex] é dada por:

[tex]S_t=a_1\cdot \frac{q^t-1}{q-1},\begin{cases}a_t:\text{t-\'esimo termo}\\a_1:\text{primeiro termo}\\q:\text{raz\~ao}\end{cases} [/tex]

Substituindo os valores do primeiro termo e da razão, temos:

[tex]S_t=256\cdot \frac{(\frac12)^t-1}{\frac12-1}=256\cdot \frac{(\frac12)^t-1}{-\frac12}=256\cdot \frac{1-(\frac12)^t}{\frac12}=512[1-(\frac12)^t]\Rightarrow\\\\ S_t=512-512\cdot(\frac12)^t\Rightarrow\,S_n=512-\frac{512}{2^t}[/tex]

Para resolver as letras "a" e "b", bastas substituirmos os valores em cada letra na variável correspondente à soma, [tex]S_t[/tex], e obter o valor de [tex]t.[/tex] Vamos lá.

[tex]a)\,S_t=480\Rightarrow512-\frac{512}{2^t}=480\Rightarrow512-480=\frac{512}{2^t}\Rightarrow\\\\32=\frac{512}{2^t}\Rightarrow2^t=\frac{512}{32}\Rightarrow 2^t=16\Rightarrow\boxed{t=4\text{ horas}}[/tex]

[tex]b)\,S_t=600\Rightarrow512-\frac{512}{2^t}=600\Rightarrow512-600=\frac{512}{2^t}\Rightarrow\\\\-88=\frac{512}{2^t}\Rightarrow2^t=\frac{512}{-88}\Rightarrow 2^t<0\Rightarrow\boxed{\text{n\~ao existe resposta}}[/tex]

De fato, se levarmos o tempo para o infinito, veremos que o máximo que a caminhada pode atingir são 512 m. 600 m, portanto, é impossível. Veja:

[tex]\lim\limits_{t\to+\infty}S_t=\lim\limits_{t\to+\infty}512-\frac{512}{2^t}=512-\lim\limits_{t\to+\infty}\frac{512}{2^t}=512-0=512[/tex]
silvageeh

Para percorrer 480 metros, o alpinista levará 4 horas; Não é possível percorrer 600 metros.

a) Observe que:

128/256 = 0,5

64/128 = 0,5

ou seja, a sequência (256,128,64) é uma Progressão Geométrica de razão 0,5.

A soma dos termos de uma Progressão Geométrica finita é calculada pela fórmula: [tex]Sn=\frac{a1(1-q^n)}{1-q}[/tex], sendo

a1 = primeiro termo

q = razão

n = quantidade de termo.

Temos que:

a1 = 256

q = 0,5

Sn = 480.

Então:

[tex]480=\frac{256(1-0,5^n)}{1-0,5}[/tex]

[tex]240=256-256.0,5^n[/tex]

[tex]16=256.0,5^n[/tex]

Como 16 = 2⁴, 256 = 2⁸, 0,5 = 2⁻¹, então:

2⁴ = 2⁸.2⁻ⁿ

As bases são iguais. Logo, podemos trabalhar apenas com os expoentes:

4 = 8 - n

n = 8 - 4

n = 4.

Portanto, o percurso de 480 metros durará 4 horas.

b) Perceba que 480/0,5 = 960.

Isso quer dizer que não é possível percorrer os 600 metros.

Para mais informações, acesse: https://brainly.com.br/tarefa/19475885

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