O método da integração por partes é a versão da
integração da regra do produto para a diferenciação. Fazemos: [tex] \int\limits^a_b {4x e^{2x} } \, dx =[/tex][tex] \int\limits^a_b {u} \, dv = uv- \int\limits^a_b {v} \, du [/tex].
O objetivo principal da integração por partes é
escolher
u e dv
para obter uma nova
integral que é mais fácil de calcular do que a original. Em geral, não há
regras imediatas e precisas para isso; é uma questão de experiência, que provém
de muita prática.
Fazendo: u = 4x e dv = [tex]e^{2x}dx [/tex] e derivando u para obter du e integrando dv para obter v, temos:
se [tex]u=4x[/tex] então [tex]du=4dx[/tex]
se [tex]dv= e^{2x}dx [/tex] temos: [tex] \int\limits^a_b {1} \, dv= \int\limits^a_b { e^{2x} x} \, dx [/tex] que é uma integral por substituição simples que dá v = [tex] \frac{1}{2} e^{2x} [/tex]. Logo a integral dada fica assim:
[tex]4x. \frac{1}{2} e^{2x} - \int\limits^a_b { \frac{1}{2} e^{2x}. 4} \, dx [/tex]
que simplificando fica:
[tex]2x e^{2x} -2 \int\limits^a_b { e^{2x} } \, dx [/tex]
e resolvendo a última integral (repetida) fica assim:
[tex]2x e^{2x}-2. \frac{1}{2} . e^{2x} +c[/tex]
[tex]2x e^{2x} - e^{2x} +c = e^{2x} (2x-1)+c[/tex]
