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Sagot :
Bruna, uma equação reduzida tem a seguinte fórmula:
[tex]\boxed{(x-a)^{2}+(y-b)^{2} = R^{2}}[/tex]
Onde "a" e "b" são as coordenadas do centro e "R" o raio. Perceba que o sinal de menos já é da fórmula, portanto, se uma equação tiver com o "menos", quer dizer que a coordenada é positiva. Se tiver com sinal de mais, quer dizer que a coordenada é negativa, pois teve um jogo de sinal com o menos que já é da fórmula. Pois bem, vamos à primeira equação.
a) [tex](x-1)^{2} +(y-2)^{2} = 6 \\ a = 1 \\ b = 2 \\ R^{2} = 6 \ \Rightarrow R = \sqrt{6} \\\\\\ \therefore \boxed{\boxed{C(1,2)} \ \ \ \boxed{R = \sqrt{6}}}[/tex]
b) Aqui já temos uma equação geral, que nada mais é que a distribuição da equação reduzida. Mexendo só com letras, vamos ver como fica uma equação geral:
[tex](x-a)^{2}+(y-b)^{2}= R^{2} \\\\ x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2} = R^{2} \\\\ x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-R^{2} = 0[/tex]
Queremos achar o centro, que como já disse, é o "a" e o "b". Nesta equação teórica, o termo com o "-2a" acompanha o "x". E o "-2b" acompanha o Y. Portanto, basta olhar na equação, ver qual número acompanha estas duas letras e igualar.
[tex]-2a = 2 \\\\ a = \frac{2}{-2} \\\\ \boxed{a = -1} \\\\\\ -2b=4 \\\\ b = \frac{4}{-2} \\\\ \boxed{b = -2}[/tex]
Agora vamos achar o raio. Olhe de novo a equação só com letras. Tirando os termos elevado ao quadrado e os que estão acompanhados de X e Y, tudo o que sobrou é o termo independente da equação, ou seja, aquele número que não acompanha nada.
[tex]a^{2}+b^{2}-R^{2} = termo \ independente \\\\ (-1)^{2}+(-2)^{1}-R^{2} = -1 \\\\ 1+4-R^{2}=-1 \\\\ R^{2} = 5+1 \\\\ R= \sqrt{6} \\\\\\ \therefore \boxed{\boxed{C(-1,-2)} \ \ \ \ \boxed{R = \sqrt{6}}}[/tex]
c) Vamos fazer exatamente a mesma coisa;
[tex]-2a = -4 \\\\ a =\frac{-4}{-2} \\\\ \boxed{a = 2} \\\\\\ -2b = 6 \\\\ b = \frac{6}{-2} \\\\ \boxed{b = -3}[/tex]
[tex]a^{2}+b^{2}-R^{2} = 4 \\\\ (2)^{2}+(-3)^{2}-R^{2} = 4 \\\\ 4+9-R^{2} = 4 \\\\ R = \sqrt{9} \\\\ \boxed{R = 3} \\\\\\\ \therefore \boxed{\boxed{C(2,-3)} \ \ \ \boxed{R = 3}}[/tex]
d) Agora esta temos que ter um pouco mais de cuidado. Não tem como aparecer este 2 acompanhando o x² e o y². Portanto, vamos dividir a equação inteira por 2 pra poder sumir com ele:
[tex]2x^{2}+2y^{2}+16x-32y+134 = 0 \ \ \div2 \\\\ x^{2}+y^{2}+8x-16y+67=0[/tex]
Agora podemos descobrir normalmente:
[tex]-2a = 8 \\\\ a = \frac{8}{-2} \\\\ \boxed{a = -4} \\\\\\ -2b = -16 \\\\ b = \frac{-16}{-2} \\\\ \boxed{b = 8}[/tex]
[tex]a^{b}+b^{2}-R^{2} = 67 \\\\ (-4)^{2}+(8)^{2}-R^{2} =67 \\\\ 16+64-R^{2} = 67 \\\\ 80-R^{2} = 67 \\\\ R^{2} = 13 \\\\ R = \sqrt{13} \\\\\\ \therefore \boxed{\boxed{C(-4,8)} \ \ \ \boxed{R = \sqrt{13}}}[/tex]
[tex]\boxed{(x-a)^{2}+(y-b)^{2} = R^{2}}[/tex]
Onde "a" e "b" são as coordenadas do centro e "R" o raio. Perceba que o sinal de menos já é da fórmula, portanto, se uma equação tiver com o "menos", quer dizer que a coordenada é positiva. Se tiver com sinal de mais, quer dizer que a coordenada é negativa, pois teve um jogo de sinal com o menos que já é da fórmula. Pois bem, vamos à primeira equação.
a) [tex](x-1)^{2} +(y-2)^{2} = 6 \\ a = 1 \\ b = 2 \\ R^{2} = 6 \ \Rightarrow R = \sqrt{6} \\\\\\ \therefore \boxed{\boxed{C(1,2)} \ \ \ \boxed{R = \sqrt{6}}}[/tex]
b) Aqui já temos uma equação geral, que nada mais é que a distribuição da equação reduzida. Mexendo só com letras, vamos ver como fica uma equação geral:
[tex](x-a)^{2}+(y-b)^{2}= R^{2} \\\\ x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2} = R^{2} \\\\ x^{2}+y^{2}-2ax-2by+a^{2}+b^{2}-R^{2} = 0[/tex]
Queremos achar o centro, que como já disse, é o "a" e o "b". Nesta equação teórica, o termo com o "-2a" acompanha o "x". E o "-2b" acompanha o Y. Portanto, basta olhar na equação, ver qual número acompanha estas duas letras e igualar.
[tex]-2a = 2 \\\\ a = \frac{2}{-2} \\\\ \boxed{a = -1} \\\\\\ -2b=4 \\\\ b = \frac{4}{-2} \\\\ \boxed{b = -2}[/tex]
Agora vamos achar o raio. Olhe de novo a equação só com letras. Tirando os termos elevado ao quadrado e os que estão acompanhados de X e Y, tudo o que sobrou é o termo independente da equação, ou seja, aquele número que não acompanha nada.
[tex]a^{2}+b^{2}-R^{2} = termo \ independente \\\\ (-1)^{2}+(-2)^{1}-R^{2} = -1 \\\\ 1+4-R^{2}=-1 \\\\ R^{2} = 5+1 \\\\ R= \sqrt{6} \\\\\\ \therefore \boxed{\boxed{C(-1,-2)} \ \ \ \ \boxed{R = \sqrt{6}}}[/tex]
c) Vamos fazer exatamente a mesma coisa;
[tex]-2a = -4 \\\\ a =\frac{-4}{-2} \\\\ \boxed{a = 2} \\\\\\ -2b = 6 \\\\ b = \frac{6}{-2} \\\\ \boxed{b = -3}[/tex]
[tex]a^{2}+b^{2}-R^{2} = 4 \\\\ (2)^{2}+(-3)^{2}-R^{2} = 4 \\\\ 4+9-R^{2} = 4 \\\\ R = \sqrt{9} \\\\ \boxed{R = 3} \\\\\\\ \therefore \boxed{\boxed{C(2,-3)} \ \ \ \boxed{R = 3}}[/tex]
d) Agora esta temos que ter um pouco mais de cuidado. Não tem como aparecer este 2 acompanhando o x² e o y². Portanto, vamos dividir a equação inteira por 2 pra poder sumir com ele:
[tex]2x^{2}+2y^{2}+16x-32y+134 = 0 \ \ \div2 \\\\ x^{2}+y^{2}+8x-16y+67=0[/tex]
Agora podemos descobrir normalmente:
[tex]-2a = 8 \\\\ a = \frac{8}{-2} \\\\ \boxed{a = -4} \\\\\\ -2b = -16 \\\\ b = \frac{-16}{-2} \\\\ \boxed{b = 8}[/tex]
[tex]a^{b}+b^{2}-R^{2} = 67 \\\\ (-4)^{2}+(8)^{2}-R^{2} =67 \\\\ 16+64-R^{2} = 67 \\\\ 80-R^{2} = 67 \\\\ R^{2} = 13 \\\\ R = \sqrt{13} \\\\\\ \therefore \boxed{\boxed{C(-4,8)} \ \ \ \boxed{R = \sqrt{13}}}[/tex]
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