tatamafra
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Seja M uma matriz quadrada inversível de ordem 5, onde [tex] t _ {M} [/tex] é a sua transposta e [tex] M ^ {-1} [/tex] é a sua inversa. Se o determinante da matriz (3.[tex] A ^{-1} [/tex]) vale 144, então o determinante da matriz 2. [tex] t _ { A } [/tex], vale:
Resposta: 54
OBS.: o Primeiro M está elevado a t e o A daqui também 2. [tex] t _ { A } [/tex] e

Sagot :

Antes de mais nada você precisa saber algumas propriedades de determinantes:

1ª) [tex]det(A)=det(A^t)[/tex];

2ª) [tex]det(A^{-1})= \frac{1}{det(A)}[/tex]

3ª) [tex]det(k.A_{nxn})=k^ndet(A_{nxn})[/tex]

Vamos lá!

Temos que: [tex]det(3.A^{-1})=144[/tex], sendo que

[tex]det(3.A^{-1}_{5x5})=3^5.det(A^{-1})=144[/tex] (apliquei a minha propriedade 3)

Complementando temos: [tex]3^5.det(A^{-1})=\frac{3^5}{det(A)}=144[/tex] (apliquei a minha propriedade 2)

Seguindo...
[tex]3^5=144.det(A).:\ det(A)= \frac{3^5}{144}\ (i)[/tex]

Queremos saber: [tex]det(2.A^t)[/tex]

Pela propriedade 1 e 3: [tex]det(2.A^t)=2^5det(A^t)=2^5det(A)[/tex]

Substituindo [tex](i)[/tex], temos: [tex]2^5det(A)=\frac{2^5.3^5}{144}= \frac{7776}{144}=54[/tex]


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