Por partes:
[tex](a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1}[/tex]
[tex](a\sqrt{a}+b\sqrt{b})/(\sqrt{a}+\sqrt{b})[/tex]
Multiplicando o numerador e o denominador por (√a - √b):
[tex](a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})/[(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})][/tex]
Distributiva e fazendo (x + y)(x - y) = x² - y²:
[tex](a\sqrt{a}*\sqrt{a}-a\sqrt{a}*\sqrt{b}+b\sqrt{b}*\sqrt{a}-b\sqrt{b}*\sqrt{b})/(\sqrt{a}^{2}-\sqrt{b}^{2})[/tex]
[tex](a^{2}-a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab}-b^{2})/(a-b)[/tex]
[tex]([a^{2}-b^{2}]-a\sqrt{ab}+b\sqrt{ab})/(a-b)[/tex]
Fazendo x² - y² = (x + y)(x - y) e colocando - √ab em evidência:
[tex]([a + b][a - b] - \sqrt{ab}[a - b])/(a - b)[/tex]
Cancelando (a - b):
[tex](a + b - \sqrt{ab})[/tex]
Então, descobrimos que [tex](a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1}=(a + b - \sqrt{ab})[/tex]
___________________________
[tex][(a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} + 3\sqrt{ab}]^{1/2}[/tex]
[tex][(a + b - \sqrt{ab}) + 3 \sqrt{ab}]^{1/2}[/tex]
[tex][a+b+2\sqrt{ab}]^{1/2}[/tex]
[tex]\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}} [/tex]
[tex](a\sqrt{a}+b\sqrt{b})(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} + 3\sqrt{ab}]^{1/2}=\sqrt{a+b+2\sqrt{ab}}[/tex]
