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Sistema de equações logarítmicas . Alguem resoolve ? Obg *-*
{x+y=110
{log x + log y = 3

Sagot :

korvo
LOGARITMOS

Sistema de Equações Logarítmicas

[tex] \left \{ {{x+y=110(I)} \atop {logx+logy=3(II)}} \right. [/tex]

Inicialmente vamos expor a base do logaritmo acima (pois quando a base é omitida, subintende-se que seja base 10):

[tex] \left \{ {{x+y=110(I)} \atop {log _{10}x+log _{10}y=3(II) }} \right. [/tex]

Isolando x na equação I e substituindo na equação II, vem:

[tex]x=110-y(I)[/tex]

[tex]log _{10}(110-y)+Log _{10}y=3 [/tex]

Reduzindo os logaritmos acima a mesma base e aplicando a p1 (propriedade do produto), temos:

[tex]log _{10}(110-y)y=3 [/tex]

Aplicando a definição de log, vem:

[tex](110-y)y=10 ^{3} [/tex]

[tex]110y- y^{2}=1000 [/tex]

[tex] y^{2}-110y+1000=0 [/tex]

Por Báskara, temos que:

[tex]y= \frac{-(-110) \frac{+}{} \sqrt{(-110) ^{2}-4.1.1000 } }{2.1} [/tex]

[tex]y'=10 \left e \left y''=100[/tex]

Para y=10, temos:

[tex]log _{10}x+y=3[/tex]

[tex]log _{10}x.10=3 [/tex]

[tex]10x=1000[/tex]

[tex]x=100[/tex]


Para y=100, temos:

[tex]log _{10}x.100=3[/tex]

[tex]100x=1000[/tex]

[tex]x=10[/tex]

Logo, a solução do sistema é:


S={(100, 10, 10, 100)}
Skoy
  • Conjunto solução: S = {( 100,10,10,100 )}.

Desejamos calcular o seguinte sistema de equações.

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \begin{cases}x+y=110\ \ (I) \\ \log x + \log y=3\ \ (II)\end{cases} \end{gathered}$}[/tex]

Para resolver tal sistema, devemos trabalhar com aquele logaritmo. Aplicando as seguintes propriedades:

                      [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \log _a b = x \ \ \ ;\ \ \ a^x = b \end{gathered}$}[/tex]

                     [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \log _c a + \log_c b = \log_c(ab)\end{gathered}$}[/tex]

  • Ficando então:

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \log x + \log y = 3 \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \log xy= 3 \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} xy= 10^3 \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} xy= 1000\ \ (III) \end{gathered}$}[/tex]

Logo, aquele sistema cabuloso com log se torna esse simples sisteminha:

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \begin{cases}x+y=110\ \ (I) \\ \log x + \log y=3\ \ (II)\end{cases} \Rightarrow \end{gathered}$} \large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \begin{cases}x+y=110\ \ (I) \\ x\cdot y=1000\ \ (III)\end{cases} \end{gathered}$}[/tex]

Para resolver esse sistema, irei utilizar o método da substituição simples.

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x+ y=110\ \ (I)\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x=110-y\ \ (I)\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y=1000\ \ (III)\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}(110-y)\cdot y=1000\ \ (III)\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}110y-y^2=1000\ \ (III)\end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}-y^2+110y -1000=0\ \ (III)\end{gathered}$}[/tex]

Resolvendo essa simples equação do segundo grau, temos que y'=10 e y''=100. Testando ambos na equação III.

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y=1000\ \ \end{gathered}$}[/tex]                  [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot y=1000\ \ \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot 10=1000\ \ \end{gathered}$}[/tex]                [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x\cdot 100=1000\ \ \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}10x=1000\ \ \end{gathered}$}[/tex]                   [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}100x=1000\ \ \end{gathered}$}[/tex]

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x=100\ \ \end{gathered}$}[/tex]                         [tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}x=10\ \ \end{gathered}$}[/tex]

  • Portanto, o conjuto solução desse sistema é:

[tex]\large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\therefore \boxed{\boxed{\green{S=\left\{ \left( 100,10,10,100\right)\right\}}}}\ \checkmark\end{gathered}$}[/tex]

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