✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores das ordenadas para o ponto "P" são, respectivamente:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y' = -2\:\:\:e\:\:\:y'' = 8\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Analisando o enunciado, podemos montar os seguintes dados:
[tex]\Large\begin{cases}d_{\overline{PQ}} = \sqrt{74}\\P = (-6,\,y)\\ Q = (1, 3)\end{cases}[/tex]
Sabendo que a distância entre os pontos "P" e "Q" pode ser desenvolvida a partir da seguinte estratégia:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} d_{\overline{PQ}} = \sqrt{(x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2}}\end{gathered}$}[/tex]
Para facilitar os cálculos podemos inverter os membros da equação "I". Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$}[/tex] [tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sqrt{(x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2}} = d_{\overline{PQ}}\end{gathered}$}[/tex]
Substituindo os dados na equação "II", temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \sqrt{(1 - (-6))^{2} + (3 - y)^{2}} = \sqrt{74}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (\sqrt[\!\diagup\!\!]{(1 - (-6))^{2} + (3 - y)^{2}})^{\!\diagup\!\!\!\!2} = (\sqrt[\!\diagup]{74})^{\!\diagup\!\!\!\!2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (1 + 6)^{2} + (3 - y)^{2} = 74\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 7^{2} + (3 - y)^{2} = 74\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} 49 + 9 - 6y + y^{2} = 74\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y^{2} - 6y + 49 + 9 - 74 = 0\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y^{2} - 6y - 16 = 0\end{gathered}$}[/tex]
Chegando na equação do segundo grau, devemos calcular as raízes. Então, temos:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} y = \frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2} - 4\cdot1\cdot(-16)}}{2\cdot1}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{36 + 64}}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{100}}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = \frac{6\pm10}{2}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} = 3\pm5\end{gathered}$}[/tex]
Obtendo as raízes:
[tex]\Large\begin{cases} y' = 3 - 5 = -2\\y'' = 3 + 5 = 8\end{cases}[/tex]
Portanto, as ordenadas do ponto P pertencem ao seguinte conjunto solução:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} S = \{-2,\,8\}\end{gathered}$}[/tex]
✅ Desta forma, as possíveis coordenadas do ponto P são:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P' = (-6,\,-2)\:\:\:e\:\:\:P'' = (-6,\,8)\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
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[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
