A palavra logaritmo foi inventada por John Napier. A sua origem é grega e significa a razão dos números – “logos” significa razão e “aritmo”, número. O inventor dos logaritmos, John Napier, também conhecido por Neper, nasceu na Escócia e viveu entre 1550 e 1617. Em 1614 Neper publicou o seu trabalho sobre logaritmos no livro “Descrição das Maravilhosas Regras dos Logaritmos” no qual expõe o uso dos logaritmos.
A invenção dos logaritmos no século XVI é comparável ao aparecimento dos computadores no século XX - foi um grande salto na realização das operações aritméticas e representou para a astronomia e para a navegação algo muito próximo do que hoje o computador representa para essas mesmas áreas.
Transformando os produtos em somas e os quocientes em diferenças, o uso dos logaritmos conseguiu diminuir em muito o tempo que os astrónomos gastavam nos seus cálculos.
A ideia é bastante simples. Se for possível escrever dois números positivos quaisquer na forma de potências com a mesma base, então multiplicar esses números equivale a somar os expoentes respectivos.
Considere-se uma tabela com duas linhas. Na segunda linha escrevemos, por exemplo, as potências de base 2. Na primeira linha escrevem-se os expoentes correspondentes a cada uma delas. Então, se quisermos multiplicar, por exemplo, os números 16 e 32, cujo produto é 512, podemos fazê-lo consultando a tabela. 16 e 32 podem escrever-se como potências de base 2, respectivamente, 2^4 e 2^5. Logo para multiplicar 16 por 32 basta somar 4 com 5. Ao resultado 9 = 4+5 corresponde na 2ª linha, o número 512, que é exactamente o produto de 16 por 32.
É evidente que a questão de multiplicar números que não se traduzem por potências de expoente inteiro é hoje resolvida por calculadoras e computadores, instrumentos potentes que Napier não tinha à disposição.
Teoria dos Logaritmos
1. DEFINIÇÃO
Sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a:
logb a = x bx = az
Na sentença logb a = x temos:
a) a é o logaritmando;
b) b é a base do logaritmo;
c) x é o logaritmo de a na base b.
Exemplos:
Observação 1: Quando a base não vier expressa, fica subentendido que esta vale 10.
Exemplos:
a) log 3 = log 10 3
b) log 20 = log10 20
Condições de existência
a) A base tem de ser um número real positivo e diferente de 1.
b) O logaritmando tem de ser um número real positivo.
2. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS
a) O logaritmo de um número, na base de valor igual a ele mesmo, é sempre igual a 1.
logb b = 1.
Exemplo:
log8 8 = 1.
b) O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0.
logb 1 = 0
Exemplo:
log9 1 = 0
c) Logaritmo de uma potência
logb ay = y. logb a
Exemplo:
Log2 34 = 4. log2 3
d) O logaritmo de um número b, na base b, elevado a um expoente x é sempre igual a x.
logb bx = x
Exemplo:
Log3 37 = 7
e) Um número b, elevado ao logaritmo de a na base b, é sempre igual a a.
blogb a = a
Exemplo:
7log7 13 = 13
f) Logaritmo do produto:
logc (m . n) = logc m + logc n, sendo m > 0, n > 0 e b 1.
Exemplo:
log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3
