Os valores de a e b são, respectivamente, -1 e 2.
Sendo os vetores u = (2,-4), v = (-5,1) e w = (-12,6), vamos substituí-los na equação w = a.u + b.v.
Então: (-12,6) = a.(2,-4) + b.(-5,1).
Ao multiplicarmos um escalar por um vetor, devemos multiplicar cada coordenada do vetor por esse escalar. Assim:
(-12,6) = (2a,-4a) + (-5b,b).
Para somar dois vetores, basta somar as coordenadas correspondentes:
(-12,6) = (2a - 5b, -4a + b).
Como temos uma igualdade, devemos igualar as coordenadas correspondentes. Assim, obtemos o seguinte sistema linear:
{2a - 5b = -12
{-4a + b = 6
Da segunda equação, podemos dizer que b = 4a + 6.
Substituindo o valor de b na primeira equação:
2a - 5(4a + 6) = -12
2a - 20a - 30 = -12
-18a = 18
a = -1.
Portanto, o valor de b é:
b = 4.(-1) + 6
b = -4 + 6
b = 2.
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