Olá, Marília.
Se os três números formam uma PA, então eles podem ser escritos da seguinte forma:
[tex]{n,n+r,n+2r}[/tex]
Temos o valor da soma e do produto destes números:
[tex]n+n+r+n+2r=24 \Rightarrow 3n+3r=24 \Rightarrow n+r=8\\\\ n(n+r)(n+2r)=120 \Rightarrow n\underbrace{(n+r)}_{=8}(\underbrace{n+r}_{=8}+r)=\\ n \cdot 8 \cdot (8+r)=120 \Rightarrow n(r+8)=15 \Rightarrow n=\frac{15}{r+8}[/tex]
Substituindo este último valor na primeira equação temos:
[tex]\frac{15}{r+8}+r=8 \Rightarrow 15+r^2+8r=8r+64 \Rightarrow r^2-49=0 \Rightarrow r^2=49 \\\\ \Rightarrow r_1=7\ ou\ r_2=-7[/tex]
Substituindo os valores de r na primeira equação obtemos:
[tex]n+r=8 \Rightarrow \begin{cases} n_1+r_1=n_1-7=8 \Rightarrow n_1=15\\n_2+r_2=n_2+7=8 \Rightarrow n_2=1 \end{cases}[/tex]
Temos, portanto, duas sequencias possíveis de três números que satisfazem as condições do enunciado:
[tex]\boxed{\{n_1,n_1+r_1,n_1+2r_1\}=\{15,8,1\}}\ ou\\\\ \boxed{\{n_2,n_2+r_2,n_2+2r_2\}=\{1,8,15\}}[/tex]
Os números, observe, são iguais. Altera-se, apenas, nas sequências, a sua ordem.
Os números são, portanto, 1, 8 e 15.
