karinnaoliver
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Se 2^x + 2^-x = 3, então qual é o valor numérico de 8^x + 8^-x

Sagot :

Celio

Olá, Karinna.

 

[tex]2^x + 2^{-x} = 3 \Rightarrow (2^x + 2^{-x})^2 = 3^2 \Rightarrow \\\\ 2^{2x}+2 \cdot \underbrace{2^x \cdot 2^{-x}}_{=1}+2^{-2x}=9 \Rightarrow \\\\ 2^{2x}+2^{-2x}=9-2 \Rightarrow (2^{2x}+2^{-2x})(2^x + 2^{-x})=7 \cdot \underbrace{(2^x + 2^{-x})}_{=3} \Rightarrow \\\\ 2^{3x}+\underbrace{2^x+2^{-x}}_{=3}+2^{-3x}=7\cdot 3 \Rightarrow 2^{3x}+3+2^{-3x}=21 \Rightarrow \\\\ (2^3)^x+(2^3)^{-x}=18 \Rightarrow \boxed{8^x+8^{-x}=18}[/tex]

andre19santos

O valor numérico de 8^x + 8^-x é 18.

Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:

  • Podemos utilizar as propriedades da potenciação para resolver a equação;
  • (xᵃ)ᵇ = xᵃᵇ;
  • x⁻ᵃ = 1/xᵃ;

Utilizando essas informações,  note que 8 pode ser escrito como potencia de 2 como 2³, logo:

8ˣ + 8⁻ˣ = (2³)ˣ + (2³)⁻ˣ

Podemos trocar a ordem dos expoentes sem alterar o resultado:

8ˣ + 8⁻ˣ = (2ˣ)³ + (2⁻ˣ)³

Sabemos que:

2ˣ + 2⁻ˣ = 3

2ˣ + 1/2ˣ = 3

(2ˣ)³ + (1/2ˣ)³

Se substituir 2ˣ por y, teremos:

y + 1/y = 3

Elevando os dois membros ao cubo:

(y + 1/y)³ = 3³

y³ + 3.y²(1/y) + 3.y(1/y)² + (1/y)³ = 27

y³ + 1/y³ = 27 - 3.y - 3/y

y³ + 1/y³ = 27 - 3(y + 1/y)

y³ + 1/y³ = 27 - 9

y³ + 1/y³ = 18

Substituindo de volta, temos:

(2ˣ)³ + (1/2ˣ)³ = 18

8ˣ + 8⁻ˣ = 18

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