O volume máximo da caixa em m³ será:
[tex]V_{max} = \left(\dfrac{12}{5}\right)^{3/2}[/tex]
Na resolução devemos usar como incógnitas as 3 dimensões do paralelepípedo, que é a caixa, chamando de a, b e c (largura, altura e profundidade) e depois utilizar a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica para achar o valor máximo do volume.
Como calcular o volume da caixa?
- Primeiro, deve-se observar que a caixa tem o formato de um paralelepípedo.
- A seguir, relembrar que o volume de um paralelepípedo é dado por V = abc, onde a, b e c são as dimensões do mesmo.
- Então, chamamos arbitrariamente as dimensões da caixa de a, b e c ainda a serem descobertos.
Como encontrar o volume máximo da caixa?
Já sabemos que o volume da caixa é dado por V=abc, então devemos agora utilizar uma desigualdade existente entre a Média Aritmética (MA) e a Média geométrica (MG).
No caso geral, com n termos, temos que:
- MA = [tex]\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}[/tex]
- MG = [tex]\sqrt[n]{a_1*a_2*\cdots*a_n}[/tex]
Desigualdade entre as médias
A desigualdade entre as médias afirma em geral que MA[tex]\geq[/tex]MG.
Isto é, [tex]\dfrac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\geq\sqrt[n]{a_1*a_2*\cdots*a_n}[/tex]. Com a igualdade ocorrendo apenas quando [tex]a_1 = a_2 = \cdots = a_n[/tex]
No caso da questão, utilizaremos apenas 3 termos, sendo eles a, b e c. Teremos:
[tex]\dfrac{a+b+c}{3} \geq \sqrt[3]{abc} \Rightarrow \left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^3 \geq V[/tex]
Ou seja, o valor máximo do volume ocorre quando a=b=c.
Como sabemos que a caixa deve ser feita com 12m² de papelão, temos que a soma das áreas das faces deve ser igual a 12, isto é:
2ab + 2bc + ca = 12.
Nesse caso, 'ca' não é multiplicado por 2 porque a caixa não terá tampa.
Como a=b=c, teremos, substituindo b e c: 5a² = 12 =>a= [tex]\sqrt{12/5}[/tex].
Portanto o volume máximo será:
[tex]V_{max}=a^2 \Rightarrow V_{max} = \left(\dfrac{12}{5}\right)^{3/2}[/tex].
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