monicaalmeida
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Sabe-se que em um grupo com m mulheres e n homens tem-se:

I - existem 21 maneiras diferentes de se formar uma dupla somente com mulheres;

II - existem 140 maneiras diferentes de se formar um conjunto de 3 pessoas, com pelo menos duas mulheres. Segundo essas condições, quantas pessoas há no grupo?

Sagot :

vc tem o gabarito? não tenho certeza se está certo.
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I)
Como existem 21 maneiras de formar duplas somente com mulheres temos:

[tex]C(m, 2) = \frac{m!}{2!(m - 2)!}= \frac{m(m-1)(m-2)!}{2!(m - 2)!}= \frac{m(m-1)}{2}=21[\tex]

[tex] m^2-m=42[\tex]

[tex]m^2-m-42=0[\tex]

[tex] \Delta = (-1)^2 -4.1.(-42) = 169. [/tex]

[tex]m= \frac{-(-1)+- \sqrt{169} }{2} =\left \{ {{m'=\frac{1+ 13}{2}}=14/2 =7 \atop {m''=\frac{1- 13}{2}}=-12/2 =-6}} \right. [/tex]

Portanto temos que m = 7

II) Trio
Com duas mulheres
[tex]n.C(7,2)[\tex]

Com três mulheres
[tex]C(7,3)[\tex]

Total de trios com pelo menos duas mulheres
[tex]n.C(7,2)+C(7,3)= n\frac{7!}{2!(7-2)!}+\frac{7!}{3!(7-3)!}= n\frac{7.6.5!}{2!5!}+\frac{7.6.5.4!}{3!4!}= n\frac{7.6}{2}I)

Como existem 21 maneiras de formar duplas somente com mulheres temos:
[tex]C(m, 2) = \frac{m!}{2!(m - 2)!}= \frac{m(m-1)(m-2)!}{2!(m - 2)!}= \frac{m(m-1)}{2}=21[\tex]

[tex] m^2-m=42[\tex]

[tex]m^2-m-42=0[\tex]

[tex] \Delta = (-1)^2 -4.1.(-42) = 169. [/tex]

[tex]m= \frac{-(-1)+- \sqrt{169} }{2} =\left \{ {{m'=\frac{1+ 13}{2}}=14/2 =7 \atop {m''=\frac{1- 13}{2}}=-12/2 =-6}} \right. [/tex]

Portanto temos que m = 7

II) Trio
Com duas mulheres
[tex]n.C(7,2)[\tex]

Com três mulheres
[tex]C(7,3)[\tex]

Total de trios com pelo menos duas mulheres
[tex]n.C(7,2)+C(7,3)= n\frac{7!}{2!(7-2)!}+\frac{7!}{3!(7-3)!}[\tex]

[tex]= n\frac{7.6.5!}{2!5!}+\frac{7.6.5.4!}{3!4!}= n\frac{7.6}{2}+\frac{7.6.5}{6}=21n+35 = 140 [/tex]
 
[tex]21n+35 = 140 [/tex]

[tex]21n = 140-35=105 [/tex]
[tex]n = 105/21=5 [/tex]
[tex]n=5[/tex]

Pessoas no grupo [tex]m+n=7+5=12[\tex]
+\frac{7.6.5}{6}=21n+35 = 140 [/tex]
 
[tex]21n+35 = 140 [/tex]
[tex]21n = 140-35=105 [/tex]
[tex]n = 105/21=5 [/tex]
[tex]n=5[/tex]

Pessoas no grupo

[tex]m+n=7+5=12[\tex]
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