No quadrado ABCD de lado 24, temos AE = 26 e CF = 6. O angulo AEF e agudo, reto ou obtuso? Justique
Este exercício é resolvido aplicando-se sucessivamente o Teorema de Pitágoras à partes da figura.
Teorema de Pitágoras:
Em um triângulo retângulo, a medida do lado maior (chamado de hipoteusa) elevada ao quadrado é igual à soma dos quadrados das medidas dos lados menores (chamados de catetos).
Se a soma dos quadrados dos lados vizinhos a um vértice do triângulo não der igual ao quadrado do lado oposto ao ângulo, o triângulo não é retângulo neste ângulo. Se a soma der maior, o ângulo é agudo. Se a soma for menor, o ângulo é obtuso.
Desenhe a figura.
Do triângulo ABF, calcule, por Pitágoras, AF=30.
Do triângulo ADE, calcule, por Pitágoras, DE=10, o que implica CE=14
Do triângulo FCE, calcule por Pitágoras, FE=raiz(232)
Se o ângulo AEF for reto, valerá Pitágoras
lado EF ao quadrado = 232,
lado AE ao quadrado = 26² = 676
Soma dos quadrados dos lados = 908. Isto é maior que AF² = 900.
Logo AÊF não é retângulo. A soma deu maior. AÊF é agudo.
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Segunda resolução, baseada na sugestão do João Carlos que respondeu sugerindo o caminho abaixo enquanto eu estava escrevendo minha primeira resposta.
Do triângulo FCE: tanFÊC = FC/CE = 6/14 implica FÊC~23,2 graus
Do triângulo ADE: tanAÊD = AD/DE = 24/10 implica AÊD~ 67,4 graus
FÊC+AÊF+AÊD=180
23,2 + AÊF + 67,4 = 180
AÊF~89,4graus, AÊF é agudo.
