eduardorangel
Answered

O Sistersinspirit.ca facilita a busca por respostas para suas perguntas com a ajuda de uma comunidade ativa. Experimente a facilidade de obter respostas rápidas e precisas para suas perguntas com a ajuda de profissionais em nossa plataforma. Junte-se à nossa plataforma de perguntas e respostas para conectar-se com especialistas dedicados a fornecer respostas precisas para suas perguntas em diversas áreas.

1+8+...+n^3=({n(n+1))/2)^2, para todo n>=1...provar usando indução matemática.

Sagot :

Celio

Olá, Eduardo;

 

[tex](i)\ n=1:n^3=1^3=1,\ [\frac{n(n+1)}2]^2=[\frac{1(1+1)}2]^2=[\frac{1\cdot 2}2]^2=1[/tex]

 

[tex](ii)\text{ Se a proposi\c{c}\~ao\ \'e v\'alida para n} \Rightarrow \text{\'e v\'alida para n+1}[/tex]

 

[tex]1+8+...+n^3+(n+1)^3=[\frac{n(n+1)}2]^2+(n+1)^3=\\\\ =\frac{n^2(n^2+2n+1)}4+\frac{4n^3+12n^2+12n+4}4=\frac{n^4+2n^3+n^2+4n^3+12n^2+12n+4}4=\\\\ =\frac{n^4+4n^3+4n^2+2n^3+8n^2+8n+n^2+4n+4}4=\frac{(n^2+2n+1)(n^2+4n+4)}4=\\\\ =\frac{(n+1)^2(n+2)^2}4=[\frac{(n+1)(n+2)}2]^2[/tex]

 

Demonstrado.

Obrigado por usar nossa plataforma. Nosso objetivo é fornecer respostas precisas e atualizadas para todas as suas perguntas. Volte em breve. Obrigado por sua visita. Estamos dedicados a ajudá-lo a encontrar as informações que precisa, sempre que precisar. Obrigado por visitar Sistersinspirit.ca. Volte em breve para mais informações úteis e respostas dos nossos especialistas.