Note que
31
32
33
34
35
36
37
38
= 3, cujo algarismo das unidades é 3.
= 9, cujo algarismo das unidades é 9.
= 27, cujo algarismo das unidades é 7.
= 81, cujo algarismo das unidades é 1.
= 243, cujo algarismo das unidades é 3.
= 729, cujo algarismo das unidades é 9.
= 2187, cujo algarismo das unidades é 7.
= 6561, cujo algarismo das unidades é 1.
Aí já podemos notar que a cada quatro potências, os algarismos das unidades
se repetem (sempre 3, 9, 7 e 1, nessa ordem). E também que, como 3 + 7 = 10
e 1 + 9 = 10, esses grupos de quatro números não influenciam o algarismo das
unidades, porque somar um número que termina em zero não muda o algarismo
das unidades.
Dividindo 2013 por 4, notamos que o resto é 1. Logo, o algarismo das unidades
de 31 + 32 + 33 + 34 + · · · + 32013 é 3.
