a função é f(x)=a x³+bx²+cx e temos alguns resultados para nos ajudar a encontrar os coeficientes a,b e c. Vamos lá.
Se f (1)=0 então sabemos que a+b+c = 0 (substituímos x por 1 e igualamos a zero)
Se f(-1)=2 então sabemos também que -a+b-c = 2 (mesma coisa, substitue x por -1 e iguala a 2)
E sabemos também que f(2)= 14 o que nos dá a equação 8a+4b+2c = 14
Agora o problema deixa de ser sobre funções. Nosso problema agora é sobre sistemas lineares e temos 3 equações com 3 incógnitas.
Penso que o melhor caminho é somar as duas primeiras. Veja como é feito
a+b+c = 0
-a+b-c = 2
_________
2b = 2
b = 1
Pegando agora a primeira e a terceira equações e substituindo b por 1 temos
a+(1)+c = 0
8a+4(1)+2c = 14
resolvendo e ajeitando as equações temos
a+c = -1
8a+2c = 10
Multiplicando a primeira por menos 2
-2a-2c = 2
8a+2c = 10
Somando novamente as equações
-2a-2c = 2
8a+2c = 10
_________
6a = 12
a = 2
Com os valores de a e b, podemos encontrar c em qualquer uma das três equações
Usando a primeira temos:
a+b+c = 0
2 + 1 + c = 0
c = -3
Temos agora então os valores para os coeficientes
a = 2
b = 1
c = -3
Reescrevendo a função temos então
f(x) = 2x³ + x² - 3x
Use esta função agora e calcule f(1), f(-2) e f(2) para conferir se os coeficentes estão corretos
Agora, finalmente, quando você pensou que o exercício já tinha deveria acabado há muito tempo é hora de procurar a resposta. O exercício pede f(-2) lembra?
Usando nossa função (agora com os devidos coeficientes) temos
f(x) = 2x³ + x² - 3x
f(-2) = 2(-2)³ + (-2)² - 3(-2)
f(-2) = 2(-8) +4 +6
f(-2) =-16+10
f(-2) =-6
Observação: existem diferentes caminhos para se resolver um sistema de três equações. Vale muito a pena estudar esta matéria com calma.
