O valor de a, de modo que u.v = (u + v).w é 2.
Vamos substituir os vetores u = (1, a, -2a - 1), v = (a, a - 1, 1) e w = (a, -1, 1) na expressão u.v = (u + v).w:
(1, a, -2a - 1).(a, a - 1, 1) = ((1, a, -2a - 1) + (a, a - 1, 1)).(a, -1, 1).
Primeiramente, devemos resolver o produto escalar que aparece no lado esquerdo da igualdade e a soma dos vetores que aparece no lado direito.
O produto escalar de dois vetores (x,y,z) e (x',y',z') é definido por:
(x,y,z).(x',y',z') = x.x' + y.y' + z.z'.
Sendo assim, temos que:
1.a + a.(a - 1) + (-2a - 1).1 = (1 + a, a + a - 1, -2a - 1 + 1).(a, -1, 1)
a + a² - a - 2a - 1 = (1 + a, 2a - 1, -2a).(a, -1, 1)
a² - 2a - 1 = (1 + a).a + (2a - 1).(-1) + (-2a).1
a² - 2a - 1 = a + a² - 2a + 1 - 2a
-1 = a + 1 - 2a
a = 2.
Logo, os vetores u, v e w são iguais a:
u = (1, 2, -5)
v = (2, 1, 1)
w = (2, -1, 1).
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