JordanaSimoes
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Questão da  prova de 2012 do IF, to precisando muuuuuito gente me ajudem !


  [tex] \sqrt{10 +\sqrt{10} } . \sqrt{10 -\sqrt{10} } [/tex]

Sagot :

rikardoa
Este é um caso que devemos fazer a transformação de um radical duplo (ou radical biquadrático) em uma soma de dois radicais simples assim:

I) [tex]\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}[/tex]

Onde [tex]C=\sqrt{A^2-B}[/tex].

Temos que:

[tex]A=10[/tex] e
[tex]B=10[/tex]

Onde [tex](\sqrt{10\pm\sqrt{10}})[/tex] 

Primeiramente vamos calcular o valor de [tex]C[/tex]. Assim:

[tex]C=\sqrt{A^2-B}[/tex]

[tex]C=\sqrt{10^2-10}[/tex]

[tex]C=\sqrt{100-10}[/tex]

[tex]C=\sqrt{90}[/tex]

[tex]C=\sqrt{9.10}[/tex]

[tex]C=\sqrt{3^2.10}[/tex]

[tex]C=3\sqrt{10}[/tex]

Agora teremos:

[tex]\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{\frac{A+C}{2}}\pm\sqrt{\frac{A-C}{2}}[/tex]

[tex]\sqrt{10\pm\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}\pm\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}}[/tex]

Voltando para o questão teremos:

[tex](\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=[/tex]
[tex](\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}+\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})\cdot (\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}-\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})[/tex]

Depois da transformação temos um produto notável, que é o produto da soma pela diferença, que se resolve assim:

[tex](a+b)\cdot (a-b)=a^2-b^2[/tex]

Então fazemos:

[tex](\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=[/tex]
[tex](\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}+\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})\cdot (\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}}-\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})[/tex]

[tex](\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=(\sqrt{\frac{10+3\sqrt{10}}{2}})^2-(\sqrt{\frac{10-3\sqrt{10}}{2}})^2[/tex]

[tex](\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{10+3\sqrt{10}}{2}-\frac{10-3\sqrt{10}}{2}[/tex]

[tex](\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{10+3\sqrt{10}-(10-3\sqrt{10})}{2}[/tex]

[tex](\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{10+3\sqrt{10}-10+3\sqrt{10}}{2}[/tex]

[tex](\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{3\sqrt{10}+3\sqrt{10}}{2}[/tex]

[tex](\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{2\cdot 3\sqrt{10}}{2}[/tex]

[tex](\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=\frac{1\cdot 3\sqrt{10}}{1}[/tex]

[tex](\sqrt{10+\sqrt{10}})\cdot (\sqrt{10-\sqrt{10}})=3\sqrt{10}[/tex] 
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