Olá, rareirin.
O ponto de intersecção entre as duas curvas é [tex]x=\frac{\pi}4,[/tex] pois [tex]\sin\frac\pi{4}=\cos\frac\pi{4}=\frac{\sqrt2}2[/tex]
Como se pode observar no gráfico das duas funções, em anexo, no intervalo [tex][0,\frac\pi{4}][/tex], [tex]\cos x \geq \sin x[/tex] e no intervalo [tex][\frac\pi{4},\frac\pi{2}][/tex], [tex]\sin x \geq \cos x[/tex] .
A área entre as curvas, portanto, é a integral da diferença entre a função de maior valor e a de menor valor nos intervalos [tex][0,\frac\pi{4}][/tex] e [tex][\frac\pi{4},\frac\pi{2}][/tex] .
Portanto:
[tex]\'Area=\int\limits^\frac{\pi}{4}_0 {(\cos x-\sin x)}\, dx+\int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} {(\sin x - \cos x)} \, dx=[/tex]
[tex]=\int\limits^\frac{\pi}{4}_0 \cos x\, dx-\int\limits^\frac{\pi}{4}_0\sin x}\, dx+\int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4} \sin x - \int\limits^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4}\cos x \, dx=[/tex]
[tex]=\sin x|^\frac{\pi}{4}_0-(-\cos x|^\frac{\pi}{4}_0)+(-\cos x|^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4})-\sin x|^\frac{\pi}{2}_\frac{\pi}{4}=[/tex]
[tex]=\sin\frac{\pi}{4}-\sin0-[-\cos\frac{\pi}{4}-(-\cos0)]+[-\cos\frac{\pi}{2}-(-\cos\frac{\pi}{4})]-\\(\sin\frac{\pi}{2}-\sin\frac{\pi}{4})=\\\\ =\frac{\sqrt2}2-0-[-\frac{\sqrt2}2-(-1)]+[-0-(-\frac{\sqrt2}2)]-(1-\frac{\sqrt2}2)=\\\\ =\frac{\sqrt2}2+\frac{\sqrt2}2-1+\frac{\sqrt2}2-1+\frac{\sqrt2}2=\\\\ =4\frac{\sqrt2}2-2=2\sqrt2-2\\\\ \therefore \boxed{\'Area=2(\sqrt2-1)} [/tex]
