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Resolver a inequação modular:
[tex]\mathsf{|x^2-4|<3x\qquad\quad(i)}[/tex]
• Condição de existência.
Sabemos que o módulo de um número real nunca é negativo, portanto, devemos ter necessariamente
[tex]\mathsf{0\le |x^2-4|<3x}\\\\ \mathsf{0<3x}\\\\ \mathsf{x>0\qquad\quad(ii)}[/tex]
• Resolvendo a inequação para [tex]\mathsf{x>0}:[/tex]
Considerando apenas os reais positivos, vamos descobrir onde a expressão do módulo muda de sentença. Para isso, temos que resolver a equação
[tex]\mathsf{x^2-4=0}\\\\ \mathsf{x^2=4}\\\\ \mathsf{x=\pm\,\sqrt{4}}\\\\ \mathsf{x=\pm\,2}[/tex]
Como estamos interessados apenas na parte positiva, a expressão do módulo muda de sentença no ponto em que [tex]\mathsf{x=2}.[/tex]
Fazendo o quadro de sinais, temos
[tex]\begin{array}{cc} \mathsf{x^2-4}&\quad\mathsf{\underset{0}{\circ}\!\overset{-----}{\textsf{------------}}\!\!\underset{2}{\bullet}\!\!\overset{++++~~}{\textsf{------------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}[/tex]
ou seja,
[tex]\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{x^2-4<0}&\mathsf{para~0<x<2}\\ \mathsf{x^2-4\ge 0}&\mathsf{para~x\ge 2} \end{array} \right.\\\\\\\\ \Rightarrow~~\mathsf{|x^2-4|}=\left\{\! \begin{array}{ll} \mathsf{4-x^2}&\mathsf{para~0<x<2}\\ \mathsf{x^2-4}&\mathsf{para~x\ge 2} \end{array} \right.[/tex]
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Sendo assim, vamos dividir a resolução em dois casos:
• Caso (I): Para [tex]\mathsf{0<x<2:}[/tex]
Nesse caso a inequação modular fica:
[tex]\mathsf{4-x^2<3x}\\\\ \mathsf{0<3x+x^2-4}\\\\ \mathsf{x^2+3x-4>0}\\\\ \mathsf{x^2+4x-1x-4>0}\\\\ \mathsf{x(x+4)-1(x+4)>0}\\\\ \mathsf{(x+4)(x-1)>0}\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto\qquad(iii)}[/tex]
As raízes do lado esquerdo são [tex]\mathsf{x_1=-4}[/tex] e [tex]\mathsf{x_2=1}.[/tex]
Montando o quadro de sinais, temos
[tex]\begin{array}{cc} \mathsf{x+4}&\quad\mathsf{\underset{0}{\circ}\!\overset{+++++}{\textsf{------------}}\!\!\underset{1}{\bullet}\!\!\overset{+++++}{\textsf{------------}}\underset{2}{\circ}}\\\\ \mathsf{x-1}&\quad\mathsf{\underset{0}{\circ}\!\overset{-----}{\textsf{------------}}\!\!\underset{1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{+++++}{\textsf{------------}}\underset{2}{\circ}}\\\\\\ \mathsf{(x+4)(x-1)}&\quad\mathsf{\underset{0}{\circ}\!\overset{-----}{\textsf{------------}}\!\!\underset{1}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{+++++}{\textsf{------------}}\underset{2}{\circ}} \end{array}[/tex]
Como queremos que o lado esquerdo de [tex]\mathsf{(iii)}[/tex] seja positivo, o intervalo de interesse é
[tex]\mathsf{1<x<2.}[/tex]
Solução para o caso (I):
[tex]\mathsf{S_{(I)}=\left]1,\,2\right[.}[/tex]
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• Caso (II): Para [tex]\mathsf{x \ge 2:}[/tex]
Nesse caso a inequação modular fica:
[tex]\mathsf{x^2-4<3x}\\\\ \mathsf{x^2-3x-4<0}\\\\ \mathsf{x^2+x-4x-4<0}\\\\ \mathsf{x(x+1)-4(x+1)<0}\\\\ \mathsf{(x+1)(x-4)<0\quad\longleftarrow\quad\textsf{inequa\c{c}\~ao-produto}\qquad(iv)}[/tex]
As raízes do lado esquerdo são [tex]\mathsf{x_1=-1}[/tex] e [tex]\mathsf{x_2=4}.[/tex] Montando o quadro de sinais, temos
[tex]\begin{array}{cc} \mathsf{x+1}&\quad\mathsf{\underset{2}{\bullet}\!\overset{+++++}{\textsf{------------}}\!\!\underset{4}{\bullet}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}}\\\\ \mathsf{x-4}&\quad\mathsf{\underset{2}{\bullet}\!\overset{-----}{\textsf{------------}}\!\!\underset{4}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}}\\\\\\ \mathsf{(x+1)(x-4)}&\quad\mathsf{\underset{2}{\bullet}\!\overset{-----}{\textsf{------------}}\!\!\underset{4}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\overset{+++~~}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{c}\blacktriangleright \end{array}} \end{array}[/tex]
Como queremos que o lado esquerdo de [tex]\mathsf{(iv)}[/tex] seja negativo, o intervalo de interesse é
[tex]\mathsf{2\le x<4.}[/tex]
Solução para o caso (II):
[tex]\mathsf{S_{(II)}=\left[2,\,4\right[.}[/tex]
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A solução para a inequação modular dada inicialmente é a união das soluções obtidas para cada caso:
[tex]\mathsf{S=S_{(I)}\cup S_{(II)}}\\\\ \mathsf{S=\left]1,\,2\right[\,\cup \left[2,\,4\right[}\\\\ \mathsf{S=\left]1,\,4\right[}\quad\longleftarrow\quad\textsf{(nota\c{c}\~ao de intervalos)}[/tex]
ou em notação usual
[tex]\mathsf{S=\{x\in\mathbb{R}:~1\ \textless \ x\ \textless \ 4\}}.[/tex]
Bons estudos! :-)
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