LOGARITMOS
Propriedades Operatórias
Aplicando as propriedades operatórias, p1, p2 e p3 e a mudança de base,
[tex]p1(produto)(Log _{a} b*c=Log _{a}b+Log _{a}c) [/tex]
[tex]p2(quociente)(Log _{a} \frac{b}{c}=Log _{a}b-Log _{a}c) [/tex]
[tex]p3(potencia)(Log _{b}c ^{a}=a*Log _{b}c) [/tex] e a p4 (mudança de base)
[tex]Log _{c}b= \frac{Logb}{Logc} [/tex], vem:
1. Dados Log2=0,3; Log3=0,4 e Log5=0,7, calcule:
a) [tex]Log _{9}2= \frac{Log2}{Log9}= \frac{Log2}{Log3 ^{2} }= \frac{Log2}{2*Log3} [/tex]
Substituindo os valores de log, vem:
[tex]Log _{9}2= \frac{0,3}{2*0,4}= \frac{0,3}{0,8}=0,375 [/tex]
b) [tex]Log _{5}3= \frac{Log3}{Log5}= \frac{0,4}{0,7}=0,57 [/tex]
c) [tex]Log _{6}15= \frac{Log15}{Log6}= \frac{Log3*Log5}{Log2*Log3}= \frac{Log3+Log5}{Log2+Log3} [/tex]
[tex]Log _{6}15= \frac{0,4+0,7}{0,3+0,4} = \frac{1,1}{0,7}=1,57 [/tex]
2.[tex]Log _{3} 2*Log _{2}5*Log _{5}3 [/tex]
[tex]= (\frac{Log2}{Log3})+(\frac{Log5}{Log2})+( \frac{Log3}{Log5}) [/tex]
[tex]=( \frac{0,3}{0,4})+( \frac{0,7}{0,3})+( \frac{0,4}{0,7})=0,75+2,3+0,57=3,62 [/tex]
3. Solucione as equações:
a) [tex]Log _{5}x+Log _{25}x=3 [/tex]
A incógnita encontra-se no logaritmando, então devemos ter x > 0, esta é a condição para que log exista:
Como os logaritmos estão em bases diferentes, bases 5 e 25, podemos aplicar a propriedade 4 dos logaritmos (mudança de base):
[tex]Log _{5}x+ \frac{Log _{5}x }{Log _{5}25 }=3 [/tex]
Aplicando a definição de log, [tex]Log _{5}25=2 [/tex], temos:
[tex]Log _{5}x+ \frac{Log _{5}x }{2}=3 [/tex]
[tex]2*Log _{5}x+Log _{5}x=3*2 [/tex]
[tex]3Log _{5}x=6 [/tex]
[tex]Log _{5}x= \frac{6}{3} [/tex]
[tex]Log _{5}x=2 [/tex]
Pela definição de log, vem:
[tex]x=5 ^{2} [/tex]
[tex]x=25[/tex]
Vemos que x satisfaz a condição de existência, logo:
S={25}
b) [tex]Log _{2}x+Log _{4}x+Log _{2}x=7 [/tex]
Aplicando a P.M.B, vem:
[tex]2Log _{2}x+ \frac{Log _{2}x }{Log _{2}4 }=7[/tex]
[tex]2Log _{2}x+ \frac{Log _{2}x }{2}=7 [/tex]
[tex]2*2Log _{2}x+Log _{2}x=7*2 [/tex]
[tex]4Log _{2}x+Log _{2}x=14 [/tex]
[tex]5Log _{2}x=14 [/tex]
[tex]Log _{2}x= \frac{14}{5} [/tex]
Pela definição, vem:
[tex]x=2 ^{ \frac{14}{5} }= \sqrt[5]{2 ^{14} }= \sqrt[5]{16384} [/tex]
Logo x atende a condição de existência.
S={[tex] \sqrt[5]{16384} [/tex]}
c) [tex]Log _{4}x+Log _{8}x-Log _{2}x=-1 [/tex]
[tex] \frac{Log _{2}x }{Log _{2}4 }+ \frac{Log _{2}x }{Log _{2}8 }-Log _{2}x=-1 [/tex]
[tex] \frac{Log _{2}x }{2}+ \frac{Log _{2}x }{3}-Log _{2}x=-1 [/tex]
[tex] \frac{3*Log _{2}x+2*Log _{2}x-6*Log _{2}x }{6}= -\frac{1}{6} [/tex]
[tex]-Log _{2}x=-1 [/tex]
[tex]Log _{2}x=1[/tex]
[tex]x=2 ^{1} [/tex]
[tex]x=2[/tex]
S={2}
