Resposta:
[tex]sen(x)=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]
Explicação passo-a-passo:
Inicialmente, vamos aplicar as relações trigonométricas existentes a expressão fornecida. Primeiramente, vamos substituir o valor da tangente pela razão entre seno e cosseno:
[tex]cos(x)=\frac{sen(x)}{cos(x)}\\ \\cos^2(x)=sen(x)[/tex]
Agora, vamos utilizar outra relação, que diz que: sen²(x) + cos²(x) = 1. Isolando o cosseno e substituindo na equação, obtemos:
[tex]1-sen^2(x)=sen(x)\\ \\ sen^2(x)+sen(x)-1=0[/tex]
Nesse momento, veja que temos uma equação do segundo grau. Para resolvê-la, vamos substituir o seno por uma variável qualquer X. Então, podemos aplicar a fórmula de Bhaskara.
[tex]x^2+x-1=0\\ \\ \Delta=1^2-4\times 1\times (-1)=5\\ \\ x'=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\ \\ x''=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]
Desse modo, podemos igualar as raízes ao seno. Contudo, note que a primeira raiz resulta em um valor maior que 1, o que está fora do intervalo dos senos. Por isso, vamos trabalhar apenas com o segundo valor. Portanto, o resultado do problema é:
[tex]sen(x)=\frac{1-\sqrt{5}}{2}[/tex]
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