LOGARITMOS
Sistema de Equações Logarítmicas
[tex] \left \{ {{x+y=12(I)} \atop {Log _{2}x+Log _{2}y=5(II) }} \right. [/tex]
Isolando x na equação I, podemos substitui-lo na equação II:
[tex]x=12-y(I)[/tex]
[tex]Log _{2}(12-y)+Log _{2}y=5 [/tex]
Como os logaritmos encontram-se na mesma base, podemos igualar as bases, aplicarmos a p1:
[tex]Log _{2}(12-y)*y=5 [/tex]
Aplicando a definição de Log, vem:
[tex]12y-y ^{2}=2 ^{5} [/tex]
[tex]- y^{2}+12y=32 [/tex]
[tex]-y ^{2}+12y-32=0 [/tex]
Multiplicando esta equação do 2° grau por -1, temos:
[tex]y ^{2}-12y+32=0 [/tex]
Resolvendo esta equação obtemos as raízes y'=4 e y"=8, substituindo os valores de y em função de x, vem:
1a raiz:
[tex]Log _{2}x+Log _{2}y=5 [/tex]
[tex]Log _{2}x+Log _{2}4=5 [/tex]
[tex]Log _{2}x*4=5 [/tex]
Pela definição:
[tex]4x=2 ^{5} [/tex]
[tex]4x=32[/tex]
[tex]x=8[/tex]
2a raiz:
[tex]x+y=12[/tex]
[tex]x+8=12[/tex]
[tex]x=12-8[/tex]
[tex]x=4[/tex]
Solução: x,y {(8,4,4,8)}
