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São dadas duas progressões: uma P.A  e outra P.G. Sabe-se que :


#ambas tem três termos positivos;

#em ambas, o 2º termo é 8;

#o 1º termo da P.G. é igual ao 3º termo da P.A.;

#a soma dos termos da P.G. é 42;

Qual é o 1º termo da P.A.

 

Sagot :

FelipeQueiroz
Sejam [tex]b_i[/tex] os termos da PG e [tex]a_i[/tex] os termos da PA. A partir da definição de PG temos que [tex]\frac{b_2}{b_1} = \frac{b_3}{b_2}[/tex], que pode ser reescrito como [tex]b_1.b_3 = b_2^2[/tex]. A partir disso podemos montar o sistema:

[tex] \left \{ {{b_1.b_3=b_2^2} \atop {b_1+b_2+b_3=42}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b_1.b_3=64} \atop {b_1+8+b_3=42}} \right. \Rightarrow \left \{ {{b_1.b_3=64} \atop {b_1+b_3=34}} \right. [/tex]

Os valores de [tex]b_1 \ e \ b_3[/tex] são raízes da equação x²-34x+64=0, então encontraremos dois valores para [tex]b_1[/tex] e, portanto, dois valores para [tex]b_3[/tex]. Resolvendo aquela equação encontramos [tex]b_1 = 32 \ ou \ b_1 = 2[/tex].

Pela questão temos que [tex]b_1 = a_3 \ e \ b_2 = a_2 = 8[/tex]. A partir da definição de PA temos:

[tex]a_2 - a_1 = a_3 - a_2 \Rightarrow \underline{a_1 = 16 - a_3}[/tex]

Agora é só substituir os possíveis valores de [tex]a_3[/tex] para encontrarmos o valor de [tex]a_1[/tex].

[tex] i) \ a_3 = 32 \\ a_1 = 16 - 32 \Rightarrow a_1 = -16 <0 \ (n\~{a}o \ pode) \\ \\ ii) \ a_3 = 2 \\ a_1 = 16 - 2 \Rightarrow \boxed{\boxed{a_1 = 14}}[/tex]
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