elainedesa28
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Determine os três (3) números da progressão geométrica sabendo que a soma dos três é 37 e o produto do mesmo é 1728.

Sagot :

FelipeQueiroz
Sejam [tex]a_1, \ a_2 \ e \ a_3[/tex] os três termos dessa PG. Pela definição podemos escrever [tex]a_1 = \frac{a_2}{q} \ e \ a_3 = a_2.q[/tex]. Como o produto desses três termos é 1728 temos:

[tex]a_1.a_2.a_3 = 1728 \Rightarrow \frac{a_2}{q}.a_2.a_2.q = 1728 = a_2^3 \\ \underline{a_2 = 12}[/tex]

Agora temos que encontrar os outros dois termos. Sabemos que:

[tex] \left \{ {{a_1+a_2+a_3=37} \atop {a_1.a_2.a_3=1728}} \right. \Rightarrow \left \{ {{a_1+a_3=25} \atop {a_1.a_3=144}} \right. [/tex]

Perceba que [tex]a_1 \ e \ a_3[/tex] são as raízes de x²-25x+144 = 0, logo teremos dois possíveis valores para [tex]a_1[/tex] e, consequentemente, dois possíveis valores para [tex]a_3[/tex]. Resolvendo aquela equação encontramos que [tex] a_1 = 9 \ ou \ a_1 = 16[/tex]. Logo temos duas possíveis PGs:

1- (9, 12, 16)
2- (16, 12, 9)
korvo
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA

Três números em P.G.:

[tex] \frac{x}{q},x,xq [/tex]

A soma destes números é 37,   [tex] \frac{x}{q}+x+xq=37 [/tex] (I)

E o produto é 1 728, [tex] \frac{x}{q} .x.xq=1728[/tex] (II)

Primeiro vamos tratar do produto destes números em P.G., assim:

[tex] \frac{x}{q}.x.xq=1728 [/tex], eliminando q, temos que:

[tex] x^{3}=1728 [/tex]

[tex]x= \sqrt[3]{1728} [/tex]

[tex]x=12[/tex]

Agora vamos substituir x, na soma dos três termos em P.G. (caso II).

[tex] \frac{12}{q}+12+q.12=37 [/tex]

[tex] \frac{12}{q}+12+12q=37 [/tex]

[tex] \frac{12}{q}+12q=37-12 [/tex]

[tex] \frac{12}{q}+12q=25[/tex]

[tex]12+12q*q=25*q[/tex]

[tex]12 q^{2}-25q+12=0 [/tex]

Por Báskara obtemos as raízes [tex]q'= \frac{4}{3} \left e \left q"= \frac{3}{4} [/tex]

Substituindo, no esquema montado acima, vem:

1a raiz da equação:

[tex]P.G.( \frac{x}{q},x,xq) [/tex]

[tex]P.G.( \frac{12}{ \frac{4}{3} },12,12* \frac{4}{3}) [/tex]

[tex]P.G.(9,12,16)[/tex]


2a raiz da equação:

[tex]P.G.( \frac{x}{q},x,xq) [/tex]

[tex]P.G.( \frac{12}{ \frac{3}{4} },12,12* \frac{3}{4}) [/tex]

[tex]P.G.(16,12,9)[/tex]

Ou seja, temos duas P.G.s, uma crescente e outra decrescente.
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