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Sagot :
LOGARITMOS
Equações Logarítmicas 1° e 2° tipos
a) [tex]Log _{x}(4x-3)=Log _{x}(x-1) [/tex]
Impondo a condição de existência, para a base e para o logaritmando, temos que:
base [tex]x>0[/tex] e [tex]x \neq 1[/tex]
Logaritmando [tex]4x-3>0[/tex] .:. [tex]4x>3[/tex] .:. [tex]x> \frac{3}{4} [/tex]
[tex](x-1)>0[/tex] .:. [tex]x>1[/tex]
Resolução:
Como os logaritmos acima estão em uma mesma base, base x, podemos eliminar as bases e realizar as operações:
[tex]4x-3=x-1[/tex]
[tex]4x-x=-1+3[/tex]
[tex]3x=2[/tex]
[tex]x= \frac{2}{3} [/tex]
Vemos portanto que x não atende a condição de existência, logo:
Solução: { } conjunto vazio
b) [tex]Log _{3}(x+3)+Log _{3}(2x-9)=Log _{3}8 [/tex]
Verificando a C.E. para o logaritmando x > 0:
[tex](x+3)>0[/tex] .:. [tex]x>-3[/tex]
[tex](2x-9)>0[/tex] .:. [tex]2x>9[/tex] .:. [tex]x> \frac{9}{2} [/tex]
Como os logaritmos encontram-se na mesma base podemos elimina-las e aplicarmos a p1 (propriedade do produto)
[tex]Log _{b}a+Log _{b}c=Log _{b}a*Log _{b}c [/tex]
[tex](x+3)(2x-9)=8[/tex]
[tex] 2x^{2}-9x+6x-27=8 [/tex]
[tex]2 x^{2} -3x-27-8=0[/tex]
[tex]2 x^{2} -3x-35=0[/tex]
Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes [tex]x'= -\frac{7}{2} [/tex] e
[tex]x"=5[/tex]
Vemos que pela condição de existência somente a 2a raiz satisfaz, portanto:
Solução: {5}
c) [tex]Log _{ \frac{1}{3} }(x+1)+Log _{ \frac{1}{3} }(x+5)=Log _{ \frac{1}{3} }(2x-3) [/tex]
Verificando a C.E., para o logaritmando x > 0, temos:
[tex](x+1)>0[/tex] .:. [tex]x>-1[/tex]
[tex](x-5)>0[/tex] .:. [tex]x>5[/tex]
[tex](2x-3)>0[/tex] .:. [tex]2x>3[/tex] .:. [tex]x> \frac{2}{3} [/tex]
Novamente vimos que os logaritmos estão em uma mesma base, base 1/3, podemos elimina-las e aplicarmos a p1:
[tex](x+1)(x-5)=2x-3[/tex]
[tex] x^{2} -5x+x-5=2x+3[/tex]
[tex] x^{2} -4x-5-2x-3=0[/tex]
[tex] x^{2} -6x-8=0[/tex]
Por Báskara encontramos as raízes [tex]x=3 \frac{+}{}2 \sqrt{17} [/tex]
O que pela condição de existência somente a 1a raiz satisfaz.
Solução: {[tex]3+2 \sqrt{17} [/tex]}
d) [tex]Log _{2}(2x-1)-Log _{2}(x+2)=Log _{2}(4x+1)-Log _{2}(x+10) [/tex]
Verificando a C.E. para o logaritmando x > 0, vem:
2x-1>0 x+2>0 4x+1>0 x+10>0
2x>1 x> -2 4x> -1 x> -10
x>1/2 x> -1/4
Se as bases são iguais, base 2, podemos elimina-las e aplicarmos a p2, propriedade do quociente:
[tex]Log _{b} a-Log _{b}c=Log _{b} \frac{a}{c} [/tex]
[tex] \frac{(2x-1)}{(x+2)} = \frac{(4x+1)}{(x+10)} [/tex]
[tex](2x-1)(x+10)=(x+2)(4x+1)[/tex]
[tex]2 x^{2} +20x-x-10=4 x^{2} +x+8x+2[/tex]
[tex]-2 x^{2} +10x-12=0[/tex] : (-2), temos:
[tex] x^{2} -5x+6=0[/tex]
Resolvendo esta equação do 2° grau, obtemos as raízes x'=2 e x"=3
O que pela condição de existência as duas raízes satisfazem.
Solução: {2, 3}
Equações Logarítmicas 1° e 2° tipos
a) [tex]Log _{x}(4x-3)=Log _{x}(x-1) [/tex]
Impondo a condição de existência, para a base e para o logaritmando, temos que:
base [tex]x>0[/tex] e [tex]x \neq 1[/tex]
Logaritmando [tex]4x-3>0[/tex] .:. [tex]4x>3[/tex] .:. [tex]x> \frac{3}{4} [/tex]
[tex](x-1)>0[/tex] .:. [tex]x>1[/tex]
Resolução:
Como os logaritmos acima estão em uma mesma base, base x, podemos eliminar as bases e realizar as operações:
[tex]4x-3=x-1[/tex]
[tex]4x-x=-1+3[/tex]
[tex]3x=2[/tex]
[tex]x= \frac{2}{3} [/tex]
Vemos portanto que x não atende a condição de existência, logo:
Solução: { } conjunto vazio
b) [tex]Log _{3}(x+3)+Log _{3}(2x-9)=Log _{3}8 [/tex]
Verificando a C.E. para o logaritmando x > 0:
[tex](x+3)>0[/tex] .:. [tex]x>-3[/tex]
[tex](2x-9)>0[/tex] .:. [tex]2x>9[/tex] .:. [tex]x> \frac{9}{2} [/tex]
Como os logaritmos encontram-se na mesma base podemos elimina-las e aplicarmos a p1 (propriedade do produto)
[tex]Log _{b}a+Log _{b}c=Log _{b}a*Log _{b}c [/tex]
[tex](x+3)(2x-9)=8[/tex]
[tex] 2x^{2}-9x+6x-27=8 [/tex]
[tex]2 x^{2} -3x-27-8=0[/tex]
[tex]2 x^{2} -3x-35=0[/tex]
Resolvendo esta equação do 2° grau obtemos as raízes [tex]x'= -\frac{7}{2} [/tex] e
[tex]x"=5[/tex]
Vemos que pela condição de existência somente a 2a raiz satisfaz, portanto:
Solução: {5}
c) [tex]Log _{ \frac{1}{3} }(x+1)+Log _{ \frac{1}{3} }(x+5)=Log _{ \frac{1}{3} }(2x-3) [/tex]
Verificando a C.E., para o logaritmando x > 0, temos:
[tex](x+1)>0[/tex] .:. [tex]x>-1[/tex]
[tex](x-5)>0[/tex] .:. [tex]x>5[/tex]
[tex](2x-3)>0[/tex] .:. [tex]2x>3[/tex] .:. [tex]x> \frac{2}{3} [/tex]
Novamente vimos que os logaritmos estão em uma mesma base, base 1/3, podemos elimina-las e aplicarmos a p1:
[tex](x+1)(x-5)=2x-3[/tex]
[tex] x^{2} -5x+x-5=2x+3[/tex]
[tex] x^{2} -4x-5-2x-3=0[/tex]
[tex] x^{2} -6x-8=0[/tex]
Por Báskara encontramos as raízes [tex]x=3 \frac{+}{}2 \sqrt{17} [/tex]
O que pela condição de existência somente a 1a raiz satisfaz.
Solução: {[tex]3+2 \sqrt{17} [/tex]}
d) [tex]Log _{2}(2x-1)-Log _{2}(x+2)=Log _{2}(4x+1)-Log _{2}(x+10) [/tex]
Verificando a C.E. para o logaritmando x > 0, vem:
2x-1>0 x+2>0 4x+1>0 x+10>0
2x>1 x> -2 4x> -1 x> -10
x>1/2 x> -1/4
Se as bases são iguais, base 2, podemos elimina-las e aplicarmos a p2, propriedade do quociente:
[tex]Log _{b} a-Log _{b}c=Log _{b} \frac{a}{c} [/tex]
[tex] \frac{(2x-1)}{(x+2)} = \frac{(4x+1)}{(x+10)} [/tex]
[tex](2x-1)(x+10)=(x+2)(4x+1)[/tex]
[tex]2 x^{2} +20x-x-10=4 x^{2} +x+8x+2[/tex]
[tex]-2 x^{2} +10x-12=0[/tex] : (-2), temos:
[tex] x^{2} -5x+6=0[/tex]
Resolvendo esta equação do 2° grau, obtemos as raízes x'=2 e x"=3
O que pela condição de existência as duas raízes satisfazem.
Solução: {2, 3}
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