Tem duas formas de resolver esse limite. Vou mostrar os dois :D
1ª Forma: Usando transformações trigonométricas.
Tem uma fórmula que diz o seguinte:
[tex]sena - senb = 2sen(\frac{a-b}{2}).cos(\frac{a+b}{2})[/tex]
Fazendo a=x e [tex]b=\pi[/tex] temos:
[tex]\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = \lim\limits_{x \to \pi} \frac{2sen(\frac{x- \pi}{2}).cos(\frac{x+\pi}{2})}{x - \pi} = \lim\limits_{x \to \pi} \frac{sen(\frac{x- \pi}{2}).cos(\frac{x+ \pi}{2})}{\frac{x- \pi}{2}}[/tex]
Dividindo em dois limites temos:
[tex]\lim\limits_{x \to \pi} \frac{sen(\frac{x- \pi}{2})}{\frac{x- \pi}{2}}. \lim\limits_{x \to \pi} cos(\frac{x+ \pi}{2})[/tex]
Fazendo [tex]\frac{x- \pi}{2}= \alpha[/tex] temos que, quando [tex]x \to \pi , \ \alpha \to 0[/tex]. Daí:
[tex]\lim\limits_{\alpha \to 0} \frac{sen \alpha}{\alpha}. cos(\frac{\pi + \pi}{2}) = 1.cos \pi \\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = -1}}[/tex]
2ª Forma: Definição de derivada
A definição da derivada de uma função f num ponto a é a seguinte:
[tex]f'(a) = \lim\limits_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x-a}[/tex]
Ora, sendo (senx)' = cosx e [tex]a = \pi[/tex] temos que:
[tex]\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = cos \pi \\ \\ \boxed{\boxed{\lim\limits_{x \to \pi} \frac{senx - sen \pi}{x - \pi} = -1}}[/tex]
